( 2,0 ptos) Determinar o domínio da função:
w(x)=f(x)+g(x)+h(x)=raiz3-x+cos (log 2 x)+5raiz[4]16-x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio da função:
w(x) = raiz3 - x + cos (log 2 x) + 5raiz[4]16 - x^2
Isso envolve entender onde cada parte dessa função é válida. Vamos precisar usar conceitos de radiciação, logaritmos e frações com radicais no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte raiz3 - x. A raiz quadrada só funciona se o que está dentro for maior ou igual a zero. Então:
3 - x >= 0 implies x <= 3
Isso significa que x tem que ser no máximo 3.

Passo 3

Agora, vamos para cos (log 2 x). O logaritmo na base 2, log2 x, só está definido se x for maior que zero:
x > 0
Então, x precisa ser positivo.

Passo 4

Por último, temos 5raiz[4]16 - x^2. Primeiro, a raiz quarta exige que o que está dentro seja positivo (porque não dá pra tirar raiz de número negativo):
16 - x^2 > 0 implies x^2 < 16 implies -4 < x < 4
Além disso, como está no denominador, esse valor não pode ser zero. Então, x tem que estar entre -4 e 4, mas excluindo os pontos onde 16 - x^2 = 0, ou seja, x = pm 4.

Passo 5

Agora, juntando todas as condições que encontramos:
  1. x <= 3 (do primeiro termo)
  2. x > 0 (do segundo termo)
  3. -4 < x < 4 (do terceiro termo)
Vamos ver onde todas essas condições se sobrepõem. x precisa ser maior que 0, menor que ou igual a 3 e também menor que 4. A interseção dessas condições é:
0 < x <= 3

Resposta

O domínio da função w(x) é todos os números reais x tais que 0 < x <= 3. Em notação de intervalo:
(0, 3]

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