Q1) (2 ptos.) Um gás diatômico ideal, inicialmente a 4,56 \mathrm{bar}, 1,3 \mathrm{~L} e 285 K , é comprimido de forma irreversivel até um volume final de 0,59 \mathrm{~L}. Sabendo que nesse processo a temperatura do gás aumentou para 300 K , calcule a variação de entropia desse gás.

Passo 1

O enunciado dá um gás diatômico ideal que passa de um estado inicial (P_{1}=4,56\;\mathrm{bar},\,V_{1}=1,3\;\mathrm{L},\,T_{1}=285\;\mathrm{K}) para um estado final (V_{2}=0,59\;\mathrm{L},\,T_{2}=300\;\mathrm{K}) por um processo irreversível. Como entropia é função de estado, podemos escolher um caminho reversível entre os mesmos pontos. Para um gás ideal vale
\Delta S = n\,c_{v}\,\ln\!\Bigl(\frac{T_{2}}{T_{1}}\Bigr) \;+\; n\,R\,\ln\!\Bigl(\frac{V_{2}}{V_{1}}\Bigr).

Passo 2

Calcular o número de mols n a partir da equação de estado
P_{1}V_{1} = n\,R\,T_{1}.
Convertendo unidades: P_{1}=4,56\times10^{5}\;\mathrm{Pa}, V_{1}=1,3\times10^{-3}\;\mathrm{m^{3}}, R=8,314\;\mathrm{J/(mol\cdot K)}. Logo
n = \frac{P_{1}V_{1}}{R\,T_{1}} = \frac{4,56\times10^{5}\times1,3\times10^{-3}}{8,314\times285} \approx0,25\;\mathrm{mol}.

Passo 3

Para um gás diatômico (sem vibrações ativas), vale
c_{v} = \frac{5}{2}\,R = \frac{5}{2}\times8,314 \approx20,785\;\mathrm{J/(mol\cdot K)}.

Passo 4

Escrever a expressão de \Delta S e calcular os logaritmos:
\ln\!\Bigl(\frac{T_{2}}{T_{1}}\Bigr) = \ln\!\Bigl(\frac{300}{285}\Bigr)\approx0,05133, \quad \ln\!\Bigl(\frac{V_{2}}{V_{1}}\Bigr) = \ln\!\Bigl(\frac{0,59}{1,3}\Bigr)\approx-0,7904.
Então
\Delta S = n\,c_{v}\,\ln\!\Bigl(\frac{T_{2}}{T_{1}}\Bigr) + n\,R\,\ln\!\Bigl(\frac{V_{2}}{V_{1}}\Bigr).

Passo 5

Substituindo valores numéricos:
n\,c_{v}\,\ln\!\Bigl(\frac{T_{2}}{T_{1}}\Bigr) \approx0,25\times20,785\times0,05133\approx0,27\;\mathrm{J/K},
n\,R\,\ln\!\Bigl(\frac{V_{2}}{V_{1}}\Bigr) \approx0,25\times8,314\times(-0,7904)\approx-1,64\;\mathrm{J/K}.
Logo
\Delta S \approx0,27 -1,64 = -1,37\;\mathrm{J/K}.

Resposta

\displaystyle \Delta S \approx -1,37\;\mathrm{J/K}.

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