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Quais informações, de interesse químico, pode-se obter quando resolve-se a equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio?
Quais informações, de interesse químico, pode-se obter quando resolve-se a equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio?
Passo 1
O enunciado pergunta: “Quais informações, de interesse químico, pode-se obter quando resolve-se a equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio?”
Informações/Givens implícitos que podemos usar sem resolver nada ainda: o sistema é um átomo com um núcleo de carga
e um único elétron; a interação entre núcleo e elétron é coulombiana e central (depende só de
); a equação que queremos resolver é a equação de Schrödinger independente do tempo para essa interação. Não farei cálculos aqui, apenas listo o que o problema pede: identificar que tipos de resultados físicos e químicos extraímos da solução exata dessa equação para o átomo de hidrogênio.
Passo 2
Escrevendo a equação que vamos resolver (a forma que explica tudo): a equação de Schrödinger independente do tempo para o elétron no potencial coulombiano do núcleo é
Vou explicar cada símbolo:
é a função de onda do elétron (contém informação sobre onde o elétron tende a estar);
é a constante reduzida de Planck;
é a massa do elétron;
é o laplaciano (operador que envolve derivadas segundas no espaço);
é a carga elementar;
é a permissividade do vácuo;
é a distância entre elétron e núcleo;
é a energia do estado (autovalor).
Passo 3
Como o potencial é central (depende só de
), separamos variáveis em coordenadas esféricas e obtemos soluções do tipo
O que isso significa, com calma:
é a parte radial (conta como a função decai/oscila com a distância),
são as harmônicas esféricas (dão a forma angular, ou “orientação/forma” do orbital). Aparecem três números quânticos inteiros:
Não é necessário decorar agora, mas saiba que cada tripla
rotula um estado estacionário (um orbital).
Passo 4
A solução dá autovalores de energia explícitos:
Interpretação química imediata: os níveis de energia são discretos e dependem só de
. A energia de ionização do elétron no estado fundamental (
) é
.) Essas energias determinam as linhas espectrais (diferenças entre
e
correspondem a fótons absorvidos/emittedos).
Passo 5
Formas das funções de onda e nós (o que é quimicamente útil): a parte angular
produz as formas clássicas de orbital:
é s (esférico),
é p (duas lóbulos),
é d, etc. A parte radial define quantas “camadas” (nós radiais) existem. Regras importantes (fáceis de usar em prova): número de nós radiais
; número de nós angulares
. Essas características determinam densidade eletrônica e orientação — fundamentais para prever ligações e geometria molecular.
Passo 6
Como extrair probabilidades e “tamanho” do átomo: a densidade de probabilidade é
A função de distribuição radial — útil para pensar em raio atômico — é
que dá a probabilidade de encontrar o elétron entre
e
. Exemplo concreto: para o estado fundamental
(
) a parte radial é proporcional a
(onde
é o raio de Bohr,
). A distribuição radial do
tem seu máximo em
e o valor esperado
para
é
. Isso nos dá uma medida do “tamanho” típico do átomo de hidrogênio — uma noção química direta.
Passo 7
Espectroscopia e séries: transições entre níveis
e
liberam/absorvem fótons com energia
Isto se traduz na fórmula de Rydberg para o número de onda
. Consequência química: linhas espectrais (Lyman, Balmer, etc.) permitem identificar átomo e estados eletrônicos, importante em química analítica e astroquímica.
Passo 8
Momento angular e magnetismo: da solução tiramos valores do momento angular orbital
Quimicamente, isso explica por que orbitais têm expansão angular (direcionalidade) e por que certas transições e acoplamentos ocorrem. Em presença de campos magnéticos aparecem quebras (splitting) das energias por
— fenômeno relevante em espectroscopias magnéticas.
Passo 9
Regras de seleção e intensidades: a solução permite calcular integralmente elementos de dipolo do tipo
. Dessas integrais emergem regras de seleção aproximadas para transições elétricas dipolares:
e
. Isso explica por que certas linhas espectrais são fortes ou proibidas — informação muito usada em interpretação espectral.
Passo 10
Base para sistemas mais complexos: os orbitais hidrogenoides (as
) servem como funções de base para aproximar átomos multi-eletrônicos e orbitais moleculares (métodos variacionais, Hückel, LCAO, etc.). Quimicamente isso significa que formas e energias qualitativas que usamos em química (s, p, d, nós, orientações) têm origem nas soluções do problema de hidrogênio — por isso estudar esse caso traz intuição direta para ligações, hibridização e geometria.
Passo 11
Observáveis calculáveis que interessam em química: além de energias e densidades, a solução permite obter valores esperados como
,
(tamanho e espalhamento), momentos dipolares de transição (intensidade de linhas), e probabilidades condicionais (probabilidade de estar dentro de certa esfera) — todas usadas para estimar polarizabilidade, raios atômicos efetivos, e tendências de reatividade.
Passo 12
Síntese didática final (o que se ganha resolvendo o problema, em linguagem química direta): a solução exata do átomo de hidrogênio fornece (i) níveis de energia discretos e energias de ionização, (ii) funções de onda/órbitais com suas formas (s, p, d…) e nós, (iii) densidade eletrônica e distribuições radiais que definem “tamaho” e probabilidade de presença eletrônica, (iv) regras de seleção e intensidades espectrais, (v) momento angular e quantização magnética, (vi) degenerâncias e sua remoção por campos/efeitos adicionais, e (vii) um conjunto de funções base úteis para aproximar sistemas mais complexos — tudo isso é informação diretamente usada para interpretar espectros, estimar energias de ligação, prever geometria e orientar modelos químicos.
Resposta
Energia dos níveis eletrônicos (autovalores) e energia de ionização (
); formas das funções de onda/órbitais
(s, p, d, nós radiais e angulares) que dão a densidade eletrônica; distribuição radial
que fornece tamanho e probabilidade de encontrar o elétron (ex.:
tem máximo em
e
); informações de momento angular (
,
); diferenças de energia que produzem linhas espectrais (fórmula de Rydberg) e regras de seleção
; elementos de dipolo (intensidades) e probabilidades de transição; degeneração de níveis e como ela é afetada por perturbações; e, finalmente, orbitais hidrogenoides usados como base para aproximar átomos multi-eletrônicos e construir modelos químicos (ligação, hibridização, orientação de orbitais).