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Quais informações, de interesse químico, pode-se obter quando resolve-se a equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Quais informações, de interesse químico, pode-se obter quando resolve-se a equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio?”
Informações/Givens implícitos que podemos usar sem resolver nada ainda: o sistema é um átomo com um núcleo de carga +e e um único elétron; a interação entre núcleo e elétron é coulombiana e central (depende só de r); a equação que queremos resolver é a equação de Schrödinger independente do tempo para essa interação. Não farei cálculos aqui, apenas listo o que o problema pede: identificar que tipos de resultados físicos e químicos extraímos da solução exata dessa equação para o átomo de hidrogênio.

Passo 2

Escrevendo a equação que vamos resolver (a forma que explica tudo): a equação de Schrödinger independente do tempo para o elétron no potencial coulombiano do núcleo é
-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi(\mathbf{r}) - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{1}{r}\Psi(\mathbf{r}) = E\,\Psi(\mathbf{r}).
Vou explicar cada símbolo: \Psi(\mathbf{r}) é a função de onda do elétron (contém informação sobre onde o elétron tende a estar); \hbar é a constante reduzida de Planck; m é a massa do elétron; \nabla^2 é o laplaciano (operador que envolve derivadas segundas no espaço); e é a carga elementar; \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo; r é a distância entre elétron e núcleo; E é a energia do estado (autovalor).

Passo 3

Como o potencial é central (depende só de r), separamos variáveis em coordenadas esféricas e obtemos soluções do tipo
\Psi_{n\ell m}(r,\theta,\varphi)=R_{n\ell}(r)\,Y_\ell^{m}(\theta,\varphi).
O que isso significa, com calma: R_{n\ell}(r) é a parte radial (conta como a função decai/oscila com a distância), Y_\ell^m(\theta,\varphi) são as harmônicas esféricas (dão a forma angular, ou “orientação/forma” do orbital). Aparecem três números quânticos inteiros: \;n=1,2,3,\dots\;,\;\ell=0,1,\dots,n-1\;,\;m=-\ell,\dots,\ell. Não é necessário decorar agora, mas saiba que cada tripla (n,\ell,m) rotula um estado estacionário (um orbital).

Passo 4

A solução dá autovalores de energia explícitos:
E_n = -\frac{m e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2}\,\frac{1}{n^2} = -\frac{13{,}6\\ \text{eV}}{n^2}.
Interpretação química imediata: os níveis de energia são discretos e dependem só de n. A energia de ionização do elétron no estado fundamental ( n=1) é \;13{,}6\\ \text{eV}.) Essas energias determinam as linhas espectrais (diferenças entre E_n e E_{n'} correspondem a fótons absorvidos/emittedos).

Passo 5

Formas das funções de onda e nós (o que é quimicamente útil): a parte angular Y_\ell^m produz as formas clássicas de orbital: \ell=0 é s (esférico), \ell=1 é p (duas lóbulos), \ell=2 é d, etc. A parte radial define quantas “camadas” (nós radiais) existem. Regras importantes (fáceis de usar em prova): número de nós radiais =\;n-\ell-1; número de nós angulares =\;\ell. Essas características determinam densidade eletrônica e orientação — fundamentais para prever ligações e geometria molecular.

Passo 6

Como extrair probabilidades e “tamanho” do átomo: a densidade de probabilidade é
|\Psi_{n\ell m}(r,\theta,\varphi)|^2 = |R_{n\ell}(r)|^2\,|Y_\ell^m(\theta,\varphi)|^2.
A função de distribuição radial — útil para pensar em raio atômico — é
P_{n\ell}(r)=4\pi r^2 |R_{n\ell}(r)|^2,
que dá a probabilidade de encontrar o elétron entre r e r+dr. Exemplo concreto: para o estado fundamental 1s ( n=1,\ell=0) a parte radial é proporcional a e^{-r/a_0} (onde a_0 é o raio de Bohr, \;a_0\approx 0{,}529\\ \text{\AA}). A distribuição radial do 1s tem seu máximo em r=a_0 e o valor esperado \langle r\rangle para 1s é \tfrac{3}{2}a_0. Isso nos dá uma medida do “tamanho” típico do átomo de hidrogênio — uma noção química direta.

Passo 7

Espectroscopia e séries: transições entre níveis n_i e n_f liberam/absorvem fótons com energia
\Delta E = E_{n_i}-E_{n_f} = 13{,}6\\ \text{eV}\!\left(\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}\right).
Isto se traduz na fórmula de Rydberg para o número de onda \tilde{\nu} = 1/\lambda. Consequência química: linhas espectrais (Lyman, Balmer, etc.) permitem identificar átomo e estados eletrônicos, importante em química analítica e astroquímica.

Passo 8

Momento angular e magnetismo: da solução tiramos valores do momento angular orbital
|\mathbf{L}|=\sqrt{\ell(\ell+1)}\hbar,\qquad L_z=m\hbar.
Quimicamente, isso explica por que orbitais têm expansão angular (direcionalidade) e por que certas transições e acoplamentos ocorrem. Em presença de campos magnéticos aparecem quebras (splitting) das energias por m — fenômeno relevante em espectroscopias magnéticas.

Passo 9

Regras de seleção e intensidades: a solução permite calcular integralmente elementos de dipolo do tipo \langle \Psi_{n'\ell'm'}|\mathbf{r}|\Psi_{n\ell m}\rangle. Dessas integrais emergem regras de seleção aproximadas para transições elétricas dipolares: \Delta \ell = \pm 1 e \Delta m = 0,\pm1. Isso explica por que certas linhas espectrais são fortes ou proibidas — informação muito usada em interpretação espectral.

Passo 10

Base para sistemas mais complexos: os orbitais hidrogenoides (as \Psi_{n\ell m}) servem como funções de base para aproximar átomos multi-eletrônicos e orbitais moleculares (métodos variacionais, Hückel, LCAO, etc.). Quimicamente isso significa que formas e energias qualitativas que usamos em química (s, p, d, nós, orientações) têm origem nas soluções do problema de hidrogênio — por isso estudar esse caso traz intuição direta para ligações, hibridização e geometria.

Passo 11

Observáveis calculáveis que interessam em química: além de energias e densidades, a solução permite obter valores esperados como \langle r\rangle, \langle r^2\rangle (tamanho e espalhamento), momentos dipolares de transição (intensidade de linhas), e probabilidades condicionais (probabilidade de estar dentro de certa esfera) — todas usadas para estimar polarizabilidade, raios atômicos efetivos, e tendências de reatividade.

Passo 12

Síntese didática final (o que se ganha resolvendo o problema, em linguagem química direta): a solução exata do átomo de hidrogênio fornece (i) níveis de energia discretos e energias de ionização, (ii) funções de onda/órbitais com suas formas (s, p, d…) e nós, (iii) densidade eletrônica e distribuições radiais que definem “tamaho” e probabilidade de presença eletrônica, (iv) regras de seleção e intensidades espectrais, (v) momento angular e quantização magnética, (vi) degenerâncias e sua remoção por campos/efeitos adicionais, e (vii) um conjunto de funções base úteis para aproximar sistemas mais complexos — tudo isso é informação diretamente usada para interpretar espectros, estimar energias de ligação, prever geometria e orientar modelos químicos.

Resposta

Energia dos níveis eletrônicos (autovalores) e energia de ionização ( E_n=-\dfrac{13{,}6\\ \text{eV}}{n^2}); formas das funções de onda/órbitais \Psi_{n\ell m}(r,\theta,\varphi)=R_{n\ell}(r)Y_\ell^m(\theta,\varphi) (s, p, d, nós radiais e angulares) que dão a densidade eletrônica; distribuição radial P_{n\ell}(r)=4\pi r^2|R_{n\ell}(r)|^2 que fornece tamanho e probabilidade de encontrar o elétron (ex.: 1s tem máximo em r=a_0 e \langle r\rangle_{1s}=\tfrac{3}{2}a_0); informações de momento angular ( |\mathbf{L}|=\sqrt{\ell(\ell+1)}\hbar, L_z=m\hbar); diferenças de energia que produzem linhas espectrais (fórmula de Rydberg) e regras de seleção \Delta\ell=\pm1,\\ \Delta m=0,\pm1; elementos de dipolo (intensidades) e probabilidades de transição; degeneração de níveis e como ela é afetada por perturbações; e, finalmente, orbitais hidrogenoides usados como base para aproximar átomos multi-eletrônicos e construir modelos químicos (ligação, hibridização, orientação de orbitais).

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