2^{\underline{a}} Questão (30 pontos):
Calcule a Transformada de Laplace Inversa das seguintes funções:
F(s)=\frac{s}{s^{2}+2 s-3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace inversa de F(s)=\frac{s}{s^{2}+2s-3}. Vamos usar técnica de frações parciais e a propriedade básica de que
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-a}\}=e^{at}.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador.
s^{2}+2s-3 = (s-1)(s+3).

Passo 3

Escrevemos F(s) em frações parciais:
\frac{s}{(s-1)(s+3)} = \frac{A}{s-1} + \frac{B}{s+3}.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por (s-1)(s+3)\) obtemos \[s = A(s+3) + B(s-1).
Igualando coeficientes de s e termo independente resulta no sistema
\begin{cases} A + B = 1,\\\\ 3A - B = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem B=3A\]. Substituindo na primeira: \(4A=1, logo
A=\tfrac{1}{4},\quad B=\tfrac{3}{4}.
Portanto
F(s)=\frac{\tfrac{1}{4}}{s-1} + \frac{\tfrac{3}{4}}{s+3}.

Passo 5

Aplicando a transformada inversa a cada termo e lembrando que
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-a}\}=e^{at}, obtemos
f(t)=\frac{1}{4}\,e^{t} + \frac{3}{4}\,e^{-3t}.

Resposta

f(t) = \frac{1}{4}e^{t} + \frac{3}{4}e^{-3t}

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