(9 pts.) Em cada caso, escreva a função f(z) no formato indicado
f(z)=\left(x^{2}-y^{2}-2 y\right)+i(2 x-2 x y), em termos de z e \bar{z} e simplifique o resultado. Dica: Use
x=\frac{z+\bar{z}}{2} \quad \text { e } \quad y=\frac{z-\bar{z}}{2 i}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(z)=\left(x^{2}-y^{2}-2 y\right)+i(2 x-2 x y)
e pede para escrevê-la em termos de z e \bar{z}, usando as relações fornecidas:
x=\frac{z+\bar{z}}{2},\qquad y=\frac{z-\bar{z}}{2 i}.
Vou substituir essas expressões e simplificar passo a passo até obter f em função apenas de z e \bar{z}.

Passo 2

Calcular x^{2} e y^{2} a partir das definições.
x^{2}=\left(\frac{z+\bar{z}}{2}\right)^{2}=\frac{(z+\bar{z})^{2}}{4}.
y^{2}=\left(\frac{z-\bar{z}}{2i}\right)^{2}=\frac{(z-\bar{z})^{2}}{4 i^{2}}=\frac{(z-\bar{z})^{2}}{4(-1)}=-\frac{(z-\bar{z})^{2}}{4}.
Notei que usei i^{2}=-1.

Passo 3

Calcular x^{2}-y^{2} juntando os resultados do passo anterior.
x^{2}-y^{2}=\frac{(z+\bar{z})^{2}}{4}-\left(-\frac{(z-\bar{z})^{2}}{4}\right) =\frac{(z+\bar{z})^{2}+(z-\bar{z})^{2}}{4}.
Agora expandir os quadrados no numerador:
(z+\bar{z})^{2}+(z-\bar{z})^{2}= (z^{2}+2z\bar{z}+\bar{z}^{2})+(z^{2}-2z\bar{z}+\bar{z}^{2}) =2z^{2}+2\bar{z}^{2}.
Portanto
x^{2}-y^{2}=\frac{2z^{2}+2\bar{z}^{2}}{4}=\frac{z^{2}+\bar{z}^{2}}{2}.

Passo 4

Calcular -2y usando y=\dfrac{z-\bar{z}}{2i}.
-2y=-2\cdot\frac{z-\bar{z}}{2i}=-\frac{z-\bar{z}}{i}.
Como \dfrac{1}{i}=-i, segue
-2y=-\(z-\bar{z}\)\cdot\frac{1}{i} = -\(z-\bar{z}\)(-i)=i(z-\bar{z}).

Passo 5

Juntar as parcelas reais: x^{2}-y^{2}-2y.
x^{2}-y^{2}-2y=\frac{z^{2}+\bar{z}^{2}}{2}+i(z-\bar{z}).
Aqui a primeira fração veio do passo 3 e o termo imaginário puro i(z-\bar{z}) veio do passo 4.

Passo 6

Agora tratar a parte imaginária original 2x-2xy.
Primeiro 2x:
2x=2\cdot\frac{z+\bar{z}}{2}=z+\bar{z}.
Agora 2xy. Como x=\dfrac{z+\bar{z}}{2} e y=\dfrac{z-\bar{z}}{2i},
xy=\frac{z+\bar{z}}{2}\cdot\frac{z-\bar{z}}{2i}=\frac{(z+\bar{z})(z-\bar{z})}{4i}.
Logo
2xy=2\cdot xy=\frac{(z+\bar{z})(z-\bar{z})}{2i}.
Observe que (z+\bar{z})(z-\bar{z})=z^{2}-\bar{z}^{2}, portanto
2xy=\frac{z^{2}-\bar{z}^{2}}{2i}.

Passo 7

Escrever a parte imaginária completa 2x-2xy:
2x-2xy=(z+\bar{z})-\frac{z^{2}-\bar{z}^{2}}{2i}.
Esse é o coeficiente que multiplica i na definição de f.

Passo 8

Montar f como \text{Re} + i\cdot\text{Im} e simplificar:
f=\left(\frac{z^{2}+\bar{z}^{2}}{2}+i(z-\bar{z})\right) +i\left((z+\bar{z})-\frac{z^{2}-\bar{z}^{2}}{2i}\right).
Distribuir o i no segundo parêntese com cuidado:
i(z+\bar{z})-i\cdot\frac{z^{2}-\bar{z}^{2}}{2i}=i(z+\bar{z})-\frac{z^{2}-\bar{z}^{2}}{2}.
Agora some com a primeira parte:
f=\frac{z^{2}+\bar{z}^{2}}{2}-\frac{z^{2}-\bar{z}^{2}}{2}+i(z-\bar{z})+i(z+\bar{z}).
Combine as frações em z^{2} e \bar{z}^{2}:
\frac{z^{2}+\bar{z}^{2}}{2}-\frac{z^{2}-\bar{z}^{2}}{2} =\frac{z^{2}+\bar{z}^{2}-z^{2}+\bar{z}^{2}}{2}=\bar{z}^{2}.
Combine os termos com i:
i(z-\bar{z})+i(z+\bar{z})=i\big((z-\bar{z})+(z+\bar{z})\big)=i(2z)=2iz.
Portanto
f=\bar{z}^{2}+2iz.

Passo 9

Verificação rápida (opcional, para aumentar confiança): expandindo \bar{z}^{2}+2iz com z=x+iy obtém-se
(x-iy)^{2}+2i(x+iy)=x^{2}-y^{2}-2ixy+2ix-2y,
cuja parte real é x^{2}-y^{2}-2y e parte imaginária é 2x-2xy, que coincide com a função original. Assim a simplificação está correta.

Resposta

\bar{z}^{2}+2 i z

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