(9 pts.) Em cada caso, escreva a função
no formato indicado
, em termos de
e
e simplifique o resultado. Dica: Use
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para escrevê-la em termos de e
, usando as relações fornecidas:
e pede para escrevê-la em termos de
Vou substituir essas expressões e simplificar passo a passo até obter
em função apenas de
e
.
Passo 2
Calcular
e
a partir das definições.
Notei que usei
.
Passo 3
Calcular
juntando os resultados do passo anterior.
Agora expandir os quadrados no numerador:
Portanto
Passo 4
Calcular
usando
.
Como
, segue
Passo 5
Juntar as parcelas reais:
.
Aqui a primeira fração veio do passo 3 e o termo imaginário puro
veio do passo 4.
Passo 6
Agora tratar a parte imaginária original
.
Primeiro :
Primeiro
Agora
. Como
e
,
Logo
Observe que
, portanto
Passo 7
Escrever a parte imaginária completa
:
Esse é o coeficiente que multiplica
na definição de
.
Passo 8
Montar
como
e simplificar:
Distribuir o
no segundo parêntese com cuidado:
Agora some com a primeira parte:
Combine as frações em
e
:
Combine os termos com
:
Portanto
Passo 9
Verificação rápida (opcional, para aumentar confiança): expandindo
com
obtém-se
cuja parte real é
e parte imaginária é
, que coincide com a função original. Assim a simplificação está correta.