Resolva : y=y(x)
(x-1) y^prime-y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
(x-1) y^prime - y = 0
Aqui estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação e usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
y^prime + P(x) y = Q(x)
Dividindo ambos os lados da equação original por (x-1), temos:
y^prime - 1x-1 y = 0
Aqui, identificamos que:
P(x) = -1x-1 e Q(x) = 0

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante. O fator integrante, mu(x), é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Substituindo P(x):
mu(x) = e^integral -1x-1 dx
Integrando:
mu(x) = e^-ln|x-1| = 1|x-1|
Para simplificar, podemos considerar x > 1, então:
mu(x) = 1x-1

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
1x-1 y^prime - 1(x-1)^2 y = 0
Isso simplifica para:
ddx(yx-1) = 0
Isso significa que a derivada de yx-1 é zero, então yx-1 é constante.

Passo 5

Integrando ambos os lados:
yx-1 = C
Multiplicando ambos os lados por (x-1):
y = C(x-1)
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C(x - 1)

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