Calcule o comprimento da curva parametrizada
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o comprimento de uma curva parametrizada. A curva é dada por
no intervalo de
a
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de comprimento de curva em cálculo, que envolve derivadas e integrais. Precisamos saber como derivar funções vetoriais e aplicar a fórmula do comprimento de curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular o comprimento de uma curva parametrizada
no intervalo
:
Essa fórmula basicamente soma todas as pequenas distâncias ao longo da curva.
Passo 3
Vamos identificar
e
na nossa função vetorial:
Agora, precisamos calcular as derivadas de
e
em relação a
.
Passo 4
Calculando a derivada de
:
Aqui, usamos a regra do produto para derivar
.
Passo 5
Calculando a derivada de
:
Novamente, aplicamos a regra do produto para derivar
.
Passo 6
Agora, substituímos
e
na fórmula do comprimento:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz.
Passo 7
Fatorando
dentro da raiz:
Sabemos que
, então:
Como
está entre
e
,
é sempre positivo, então
.
Passo 8
Portanto, a integral simplifica para:
Agora, vamos calcular essa integral.
Passo 9
Integrando
em relação a
:
Resposta
O comprimento da curva parametrizada é
.