(2,0 pts) Calcule o comprimento da curva parametrizada
r(t)=(cos t+t sen t, sen t-t cos t), 0 <= t <= pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o comprimento de uma curva parametrizada. A curva é dada por r(t) = (cos t + t sin t, sin t - t cos t) no intervalo de 0 a pi. Para resolver isso, vamos usar o conceito de comprimento de curva em cálculo, que envolve derivadas e integrais. Precisamos saber como derivar funções vetoriais e aplicar a fórmula do comprimento de curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular o comprimento de uma curva parametrizada r(t) = (x(t), y(t)) no intervalo [a, b]:
L = integrala^b raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt
Essa fórmula basicamente soma todas as pequenas distâncias ao longo da curva.

Passo 3

Vamos identificar x(t) e y(t) na nossa função vetorial:
x(t) = cos t + t sin t
y(t) = sin t - t cos t
Agora, precisamos calcular as derivadas de x(t) e y(t) em relação a t.

Passo 4

Calculando a derivada de x(t):
dxdt = -sin t + sin t + t cos t = t cos t
Aqui, usamos a regra do produto para derivar t sin t.

Passo 5

Calculando a derivada de y(t):
dydt = cos t - cos t + t sin t = t sin t
Novamente, aplicamos a regra do produto para derivar -t cos t.

Passo 6

Agora, substituímos dxdt e dydt na fórmula do comprimento:
L = integral0^pi raiz(t cos t)^2 + (t sin t)^2 , dt
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz.

Passo 7

Fatorando t^2 dentro da raiz:
L = integral0^pi raizt^2 (cos^2 t + sin^2 t) , dt
Sabemos que cos^2 t + sin^2 t = 1, então:
L = integral0^pi raizt^2 cdot 1 , dt = integral0^pi |t| , dt
Como t está entre 0 e pi, t é sempre positivo, então |t| = t.

Passo 8

Portanto, a integral simplifica para:
L = integral0^pi t , dt
Agora, vamos calcular essa integral.

Passo 9

Integrando t em relação a t:
L = [ t^22 ]0^pi = pi^22 - 0^22 = pi^22

Resposta

O comprimento da curva parametrizada é pi^22.

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