Seja a curva C formada por duas partes, uma que é o segmento de reta que parte do ponto (-1,1) até o ponto (1,1) e uma que é o arco de parábola y=2-x^{2} do ponto (1,1) ao ponto (-1,1). Para a mesma curva C, calcule as integrais de linha:
(1,5 pts. ) \int_{C}\left(x^{2}-y\right) d x+\left(x+y^{2}\right) d y,

Passo 1

O enunciado define a curva fechada C composta por duas partes: o segmento de reta de (-1,1) a (1,1) e o arco de parábola dado por y=2-x^2 de (1,1) de volta a (-1,1). Pede-se calcular
\oint_{C}\bigl(x^{2}-y\bigr)\,dx+\bigl(x+y^{2}\bigr)\,dy.
Aqui vamos usar o Teorema de Green para transformar a integral de linha num integral dupla sobre a região D limitada por C.

Passo 2

Definimos
P(x,y)=x^{2}-y, \quad Q(x,y)=x+y^{2}.
Para aplicar o Teorema de Green verificamos
\frac{\partial Q}{\partial x} =1, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} =-1,
como não são iguais, o campo não é conservativo e podemos usar
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.

Passo 3

Calculamos o rotacional (integrando o diferencial de área):
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =1-(-1) =2.
Logo a integral sobre C vale
\iint_{D}2\,dA =2\,\text{Área}(D).Á

Passo 4

A região D está entre a reta inferior y=1 e a parábola superior y=2-x^{2}, para x variando de -1 a 1. Portanto
\text{Área}(D) =\int_{x=-1}^{1}\bigl((2-x^{2})-1\bigr)\,dx =\int_{-1}^{1}(1-x^{2})\,dx =\bigl[x-\tfrac{x^{3}}{3}\bigr]_{-1}^{1} =\frac{4}{3}.Á

Passo 5

Substituindo em \oint_{C}P\,dx+Q\,dy=2\,\text{Área}(D)Á, obtemos
2\cdot\frac{4}{3} =\frac{8}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{8}{3}

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