Questão 2.
f(x)= \begin{cases}x^{2}, & x<1, \\\\ 2 x-1, & x \geq 1 .\end{cases}
(a) Verifique a continuidade de f em x=1.
(b) Calcule as derivadas laterais em x=1.
(c) Conclua se f é derivável em x=1.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= \begin{cases}x^{2}, & x<1, \\[4pt] 2x-1, & x \geq 1,\end{cases}
e faz três perguntas:
(a) Verificar a continuidade de f em x=1.
(b) Calcular as derivadas laterais em x=1.
(c) Concluir se f é derivável em x=1.
Informações relevantes dadas: a fórmula de f para x<1 x^{2}) e para x\ge 1 2x-1). Note que o valor de f em x=1 é obtido pela segunda regra, portanto f(1)=2\cdot 1-1.]

Passo 2

Definição (curta e prática) de continuidade num ponto: uma função f é contínua em x=1 se o limite de f(x) quando x\to 1 existir e for igual a f(1). Para que o limite exista num ponto em que a função é definida por partes, checamos os limites laterais
\lim_{x\to 1^-} f(x)\quad\text{e}\quad \lim_{x\to 1^+} f(x),
e verificamos se ambos existem e são iguais a f(1).
Agora calculamos esses limites usando as fórmulas apropriadas em cada lado.

Passo 3

Cálculo do limite pela esquerda: para x\to 1^- usamos a fórmula f(x)=x^{2}. Então
\lim_{x\to 1^-} f(x)=\lim_{x\to 1^-} x^{2}=1^{2}=1.
Cálculo do limite pela direita: para x\to 1^+ usamos f(x)=2x-1. Assim
\lim_{x\to 1^+} f(x)=\lim_{x\to 1^+} (2x-1)=2\cdot 1-1=1.
O valor da função em x=1 (usando a regra x\ge 1) é
f(1)=2\cdot 1-1=1.
Como \lim_{x\to 1^-} f(x)=\lim_{x\to 1^+} f(x)=f(1)=1, concluímos que f é contínua em x=1.

Passo 4

Definição (útil) de derivada lateral em x=1: a derivada à esquerda é
f'_{-}(1)=\lim_{h\to 0^-}\frac{f(1+h)-f(1)}{h},
e a derivada à direita é
f'_{+}(1)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}.
Se ambas existirem e forem iguais, então f é derivável em 1 e f'(1) é esse valor comum. Vamos calcular cada uma pelo quociente incremental (definição), escolhendo a fórmula correta de f conforme o sinal de h.

Passo 5

Cálculo da derivada à esquerda ( h<0, logo 1+h<1, usamos x^{2}):
\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{(1+h)^{2}-1}{h}=\frac{1+2h+h^{2}-1}{h}=\frac{2h+h^{2}}{h}=2+h.
Tomando limite quando h\to 0^- (ou simplesmente h\to 0), obtemos
f'_{-}(1)=\lim_{h\to 0^-}(2+h)=2.

Passo 6

Cálculo da derivada à direita ( h>0, logo 1+h\ge 1, usamos 2x-1):
\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{[2(1+h)-1]-1}{h}=\frac{1+2h-1}{h}=\frac{2h}{h}=2.
Tomando limite quando h\to 0^+,
f'_{+}(1)=\lim_{h\to 0^+}2=2.

Passo 7

Conclusão sobre derivabilidade: as derivadas laterais existem e são iguais, f'_{-}(1)=f'_{+}(1)=2. Portanto f é derivável em x=1 e o valor da derivada é f'(1)=2.
Força aí — deu trabalho mas saiu certinho: contínua e derivável em 1, derivada igual a 2.

Resposta

(a) f é contínua em x=1 (pois \lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^+}f(x)=f(1)=1).
(b) f'_{-}(1)=2 e f'_{+}(1)=2.
(c) f é derivável em x=1 e f'(1)=2.

Exercícios relacionados