Questão 4(Vr. 4,0 pontos)
(1,0 ponto)Usando as coordenadas esféricas, calcule a integral
\iiint_{\Omega} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} d x d y d z
onde \Omega é a parte interna da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{\Omega}\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\;dx\,dy\,dz
sendo \Omega a região definida por
x^{2}+y^{2}+z^{2}\le x.
Este é um problema de integrais em coordenadas esféricas: vamos usar uma convenção em que o eixo polar coincide com o eixo Ox. Chamamos de \rho o raio, de \varphi o ângulo entre o vetor posição e o eixo x, e de \theta o ângulo em torno do eixo x.

Passo 2

Em coordenadas esféricas adaptadas ao eixo x temos
x=\rho\cos\varphi,\quad y=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad z=\rho\sin\varphi\sin\theta,
com Jacobiano
dV=\rho^{2}\sin\varphi\;d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Além disso o integrando \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} vira simplesmente \rho.

Passo 3

A fronteira da região é
\rho^{2}\le \rho\cos\varphi \quad\Longrightarrow\quad 0\le \rho\le \cos\varphi,
e só vale quando \cos\varphi\ge0, ou seja \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}]. Já \theta varia de 0 a 2\pi. Assim a integral fica
\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi/2}\int_{\rho=0}^{\cos\varphi} \bigl(\rho\bigr)\,\bigl(\rho^{2}\sin\varphi\bigr) \,d\rho\,d\varphi\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\!d\theta \int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi \!\int_{0}^{\cos\varphi}\rho^{3}\,d\rho\,d\varphi.

Passo 4

Calcule o integral em \rho:
\int_{0}^{\cos\varphi}\rho^{3}\,d\rho =\frac{(\cos\varphi)^{4}}{4}.
Logo
\iiint_{\Omega}\dots =\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{\pi/2}\frac{\cos^{4}\varphi}{4}\,\sin\varphi\,d\varphi =\frac{2\pi}{4} \int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}\varphi\,\sin\varphi\,d\varphi =\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}\varphi\,\sin\varphi\,d\varphi.

Passo 5

Para
\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}\varphi\,\sin\varphi\,d\varphi,
faça u=\cos\varphi, du=-\sin\varphi\,d\varphi. Quando \varphi=0, u=1; quando \varphi=\pi/2, u=0. Assim
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}\varphi\,\sin\varphi\,d\varphi =\int_{1}^{0}u^{4}(-du) =\int_{0}^{1}u^{4}\,du =\frac{1}{5}.
Portanto a integral total é
\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{5} =\frac{\pi}{10}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{10}

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