Questão 4(Vr. 4,0 pontos)
(1,0 ponto)Usando as coordenadas esféricas, calcule a integral
onde
é a parte interna da esfera
.
(1,0 ponto)Usando as coordenadas esféricas, calcule a integral
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
sendo
a região definida por
Este é um problema de integrais em coordenadas esféricas: vamos usar uma convenção em que o eixo polar coincide com o eixo
. Chamamos de
o raio, de
o ângulo entre o vetor posição e o eixo
, e de
o ângulo em torno do eixo
.
Passo 2
Em coordenadas esféricas adaptadas ao eixo
temos
com Jacobiano
Além disso o integrando
vira simplesmente
.
Passo 3
A fronteira da região é
e só vale quando
, ou seja
. Já
varia de
a
. Assim a integral fica
Passo 4
Calcule o integral em
:
Logo
Passo 5
Para
,
faça ,
. Quando
,
; quando
,
. Assim
faça
Portanto a integral total é