Questão 4(Vr. 4,0 pontos)
(Vr. 1,0 ponto) Calcule \int_{D}(3 x+4 y)^{2} \cos \left(16 y^{2}-9 x^{2}\right) d x d y sendo D a região do plano limitado por 3 x+4 y=1 e 3 x+4 y=2 e x=0 e y=0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{D}(3x+4y)^{2}\,\cos\bigl(16y^{2}-9x^{2}\bigr)\,dx\,dy
onde D é a região no primeiro quadrante limitada pelas retas
\;3x+4y=1,\;3x+4y=2,\;x=0,\;y=0.
O conteúdo aqui é aplicar uma mudança de variáveis adequada para simplificar a forma 3x+4y e 16y^{2}-9x^{2}.

Passo 2

Fazemos a mudança de variáveis
u = 3x + 4y,\quad v = 4y - 3x.
Calculamos a inversa
x = \frac{u - v}{6},\quad y = \frac{u + v}{8},
e o jacobiano
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \det\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\[6pt] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix} \frac16 & -\frac16\\[4pt] \frac18 & \frac18 \end{pmatrix} = \frac1{24}.
Logo
dx\,dy = \frac1{24}\,du\,dv.]

Passo 3

Na nova variável temos
(3x+4y)^{2} = u^{2}
e
16y^{2}-9x^{2} = (4y)^{2} - (3x)^{2} = (4y-3x)(4y+3x) = v\,u.
Assim o integrando vira u^{2}\cos(u v) e
\iint_{D} = \int_{u=1}^{2}\!\int_{v=-u}^{u} u^{2}\cos(u v)\,\frac1{24}\,dv\,du.
Os limites de u vêm de 3x+4y=1 até 3x+4y=2, e para cada u, o primeiro quadrante ( x\ge0,y\ge0 ) implica -u\le v\le u.

Passo 4

Primeiro fazemos a integral interna em v:
\int_{v=-u}^{u} u^{2}\cos(u v)\,dv = u^{2}\,\Bigl[\frac{\sin(u v)}{u}\Bigr]_{v=-u}^{v=u} = u^{2}\,\frac{2\sin(u^{2})}{u} = 2\,u\,\sin\bigl(u^{2}\bigr).
Então a integral torna-se
\int_{1}^{2} \frac1{24}\,2u\,\sin(u^{2})\,du = \frac1{12}\int_{1}^{2} u\sin(u^{2})\,du.

Passo 5

Fazemos a substituição t = u^{2}, dt = 2u\,du. Quando u=1, t=1; quando u=2, t=4. Então
\frac1{12}\int_{1}^{2} u\sin(u^{2})\,du = \frac1{12}\int_{t=1}^{4} \sin(t)\,\frac{dt}{2} = \frac1{24}\int_{1}^{4}\sin(t)\,dt = \frac1{24}\bigl[-\cos(t)\bigr]_{1}^{4} = \frac{\cos(1)-\cos(4)}{24}.

Resposta

\boxed{\frac{\cos(1)-\cos(4)}{24}}

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