(2,5 pts) Calcule a integral
em que
é a parte do parabolóide
abaixo do plano
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
onde
é a parte do parabolóide
que fica abaixo do plano
.
O conteúdo necessário é a fórmula de integral de superfície de um gráfico :
O conteúdo necessário é a fórmula de integral de superfície de um gráfico
e a conversão para coordenadas polares.
Passo 2
Identificamos o domínio de projeção
no plano
gerado por
. Como
está abaixo de
, temos
Logo,
é o disco de raio
centrado na origem.
Passo 3
Simplificamos o integrando usando que, em
,
:
Passo 4
Calculamos o elemento de área
. Como
e
,
Passo 5
Montamos a integral em coordenadas polares
, com
e
. Assim,
Fatoramos a parte angular:
Passo 6
Para o integral
fazemos
,
, então
. Assim,
Portanto a integral total é