(2,5 pts) Calcule a integral
\iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}-z\right) d S
em que S é a parte do parabolóide z=x^{2}+y^{2}-2 abaixo do plano x y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S}\bigl(x^{2}+y^{2}-z\bigr)\,dS
onde S é a parte do parabolóide
z = x^{2}+y^{2}-2
que fica abaixo do plano z=0.
O conteúdo necessário é a fórmula de integral de superfície de um gráfico z=f(x,y):
dS = \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}\;dx\,dy
e a conversão para coordenadas polares.

Passo 2

Identificamos o domínio de projeção D no plano xy gerado por S. Como S está abaixo de z=0, temos
x^{2}+y^{2}-2 \le 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+y^{2} \le 2.
Logo, D é o disco de raio \sqrt{2} centrado na origem.

Passo 3

Simplificamos o integrando usando que, em S, z = x^{2}+y^{2}-2:
x^{2}+y^{2}-z = x^{2}+y^{2} - \bigl(x^{2}+y^{2}-2\bigr) = 2.

Passo 4

Calculamos o elemento de área dS. Como z_x = 2x e z_y = 2y,
dS = \sqrt{1 + (2x)^{2} + (2y)^{2}}\;dx\,dy = \sqrt{1 + 4(x^{2}+y^{2})}\;dx\,dy.

Passo 5

Montamos a integral em coordenadas polares \bigl(x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta\bigr), com 0\le r\le\sqrt{2} e 0\le\theta\le2\pi. Assim,
\iint_{S}\bigl(x^{2}+y^{2}-z\bigr)\,dS = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\sqrt{2}} 2\;\sqrt{1+4r^{2}}\;r\,dr\,d\theta.
Fatoramos a parte angular:
=2\cdot 2\pi \int_{0}^{\sqrt{2}} r\sqrt{1+4r^{2}}\,dr =4\pi \int_{0}^{\sqrt{2}} r\sqrt{1+4r^{2}}\,dr.

Passo 6

Para o integral
I = \int_{0}^{\sqrt{2}} r\sqrt{1+4r^{2}}\,dr,
fazemos u=1+4r^{2}, du=8r\,dr, então r\,dr = du/8. Assim,
I = \frac{1}{8}\int_{u=1}^{u=9} u^{1/2}\,du = \frac{1}{8}\,\frac{u^{3/2}}{\tfrac32}\Bigg|_{1}^{9} = \frac{1}{12}\bigl(9^{3/2}-1^{3/2}\bigr) = \frac{1}{12}(27-1) = \frac{26}{12} = \frac{13}{6}.
Portanto a integral total é
4\pi \cdot \frac{13}{6} = \frac{52\pi}{6} = \frac{26\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{26\pi}{3}

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