(1,5 pts) Use o Teorema do Divergente para calcular a integral
onde
é a esfera unitária centrada na origem.
Observação: A integral acima é de uma função escalar e não de um campo vetorial.
Dica: O vetor normal unitário sobre a esfera unitária centrada na origem pode ser escrito como
.
Dica: O vetor normal unitário sobre a esfera unitária centrada na origem pode ser escrito como
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é a esfera unitária centrada na origem. Apesar de ser uma integral de função escalar, podemos usar o Teorema do Divergente transformando essa integral numa integral de fluxo de um campo vetorial
que satisfaça
na superfície, sabendo que o vetor normal unitário em
é
.
Passo 2
Escolhemos um campo vetorial simples
De fato, em cada ponto da esfera temos
que coincide exatamente com a integranda.
Passo 3
Pelo Teorema do Divergente (Gauss), o fluxo de
em
é
onde
é a bola de raio 1 centrada na origem.
Passo 4
Calculamos a divergência de
:
Passo 5
Portanto