(1,5 pts) Use o Teorema do Divergente para calcular a integral
\iint_{S} 2 x+2 y+z^{2} d S
onde S é a esfera unitária centrada na origem.
Observação: A integral acima é de uma função escalar e não de um campo vetorial.
Dica: O vetor normal unitário sobre a esfera unitária centrada na origem pode ser escrito como \vec{n}(x, y, z)=(x, y, z).

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{S}(2x+2y+z^{2})\,dS
onde S é a esfera unitária centrada na origem. Apesar de ser uma integral de função escalar, podemos usar o Teorema do Divergente transformando essa integral numa integral de fluxo de um campo vetorial F que satisfaça
F\cdot \vec{n}=2x+2y+z^{2}
na superfície, sabendo que o vetor normal unitário em S é \vec{n}(x,y,z)=(x,y,z).

Passo 2

Escolhemos um campo vetorial simples
F(x,y,z)=(2,2,z).
De fato, em cada ponto da esfera temos
F\cdot \vec{n}=2\cdot x+2\cdot y+z\cdot z=2x+2y+z^{2},
que coincide exatamente com a integranda.

Passo 3

Pelo Teorema do Divergente (Gauss), o fluxo de F em S é
\iint_{S}F\cdot \vec{n}\,dS = \iiint_{V}\nabla\!\cdot F\,dV,
onde V é a bola de raio 1 centrada na origem.

Passo 4

Calculamos a divergência de F:
\nabla\!\cdot F =\frac{\partial}{\partial x}(2) +\frac{\partial}{\partial y}(2) +\frac{\partial}{\partial z}(z) =0+0+1 =1.

Passo 5

Portanto
\iint_{S}(2x+2y+z^{2})\,dS =\iiint_{V}1\,dV =\text{Vol}(V) =\frac{4\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{4\pi}{3}

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