1. (2,0 pts.) Calcule a integral \int_{C} x^{2} y^{2} d x+x y d y, onde C segue a curva parabólica y=\frac{x^{2}}{2}, partindo do ponto A(0,0) até o ponto B(2,2), e depois segue do ponto B para o ponto A formando um segmento de reta.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} x^{2}y^{2}\,dx + x\,y\,dy
sobre o caminho C que vai de A(0,0) até B(2,2) seguindo a parábola y=\tfrac{x^{2}}{2} e depois retorna de B a A por um segmento de reta. O conteúdo é integral de linha de um campo vetorial não conservativo; iremos parametrizar cada trecho.

Passo 2

Parametrizamos o trecho C_{1} (parábola) por
x=t,\quad y=\tfrac{t^{2}}{2},\quad t\in[0,2],
de modo que
dx=dt,\quad dy=t\,dt.

Passo 3

Substituindo em
\int_{C_{1}}x^{2}y^{2}\,dx + x\,y\,dy
temos
x^{2}y^{2}=t^{2}\Bigl(\tfrac{t^{2}}{2}\Bigr)^{2}=\frac{t^{6}}{4}, \quad x\,y=t\cdot\tfrac{t^{2}}{2}=\frac{t^{3}}{2},
logo o integrando é
\frac{t^{6}}{4}\,dt \;+\;\frac{t^{3}}{2}\cdot t\,dt =\Bigl(\frac{t^{6}}{4}+\frac{t^{4}}{2}\Bigr)dt.
Integrando de 0 a 2:
\int_{0}^{2}\Bigl(\frac{t^{6}}{4}+\frac{t^{4}}{2}\Bigr)dt =\left[\frac{t^{7}}{28}+\frac{t^{5}}{10}\right]_{0}^{2} =\frac{128}{28}+\frac{32}{10} =\frac{32}{7}+\frac{16}{5} =\frac{272}{35}.

Passo 4

Parametrizamos o trecho C_{2} (reta de B a A) por
x=t,\quad y=t,\quad t\in[2,0],
assim dx=dt e dy=dt.

Passo 5

Em C_{2} temos
x^{2}y^{2}=t^{4},\quad x\,y=t^{2},
portanto
\int_{C_{2}}x^{2}y^{2}\,dx + x\,y\,dy =\int_{2}^{0}(t^{4}+t^{2})\,dt =-\int_{0}^{2}(t^{4}+t^{2})\,dt =-\Bigl[\frac{t^{5}}{5}+\frac{t^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{2} =-\Bigl(\frac{32}{5}+\frac{8}{3}\Bigr) =-\frac{136}{15}.

Passo 6

Somando as duas contribuições:
\frac{272}{35} \;+\;\Bigl(-\frac{136}{15}\Bigr) =\frac{816}{105}-\frac{952}{105} =-\frac{136}{105}.

Resposta

-\tfrac{136}{105}

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