- (2,0 pts.) Seja o campo vetorial
, e a superfície
da parte superior da esfera de raio duas unidades. Calcule a integral
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície da componente normal de
sobre a parte superior da esfera de raio
. O conteúdo principal aqui é o Teorema de Stokes, que diz que
Vamos aplicar esse teorema, parametrizando a curva limite
.
Passo 2
A fronteira
é o círculo de interseção da esfera com o plano
, ou seja
Como escolhemos a orientação de
com a normal apontando para cima (componente
), a orientação induzida em
é no sentido anti-horário visto de cima.
Passo 3
Parametrizamos a curva
por
Então
Sobre essa curva
, temos
Passo 4
O produto escalar
é
Passo 5
Integramos de
a
:
pois
.