1. (2,0 pts.) Seja o campo vetorial \vec{F}=\left(2 y \cos z, e^{x} \operatorname{sen} z, x e^{y}\right), e a superfície S da parte superior da esfera de raio duas unidades. Calcule a integral
\iint_{S} \operatorname{rot} \vec{F} \cdot d S

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície da componente normal de \operatorname{rot}\vec{F} sobre a parte superior da esfera de raio 2. O conteúdo principal aqui é o Teorema de Stokes, que diz que
\iint_{S} (\nabla \times \vec{F})\cdot d\vec S \;=\;\oint_{\partial S}\vec{F}\cdot d\vec r.
Vamos aplicar esse teorema, parametrizando a curva limite \partial S.

Passo 2

A fronteira \partial S é o círculo de interseção da esfera com o plano z=0, ou seja
x^2+y^2=4,\quad z=0.
Como escolhemos a orientação de S com a normal apontando para cima (componente z>0), a orientação induzida em \partial S é no sentido anti-horário visto de cima.

Passo 3

Parametrizamos a curva C=\partial S por
\vec r(t) = \bigl(2\cos t,\;2\sin t,\;0\bigr),\quad t\in[0,2\pi].
Então
d\vec r = \vec r\,'(t)\,dt = \bigl(-2\sin t,\;2\cos t,\;0\bigr)\,dt.
Sobre essa curva z=0, temos
\vec F\bigl(\vec r(t)\bigr) = \bigl(2y\cos z,\;e^x\sin z,\;x e^y\bigr) = \bigl(2\cdot(2\sin t)\cdot1,\;e^{2\cos t}\cdot0,\;(2\cos t)e^{2\sin t}\bigr) = \bigl(4\sin t,\;0,\;2\cos t\,e^{2\sin t}\bigr).

Passo 4

O produto escalar \vec F\cdot d\vec r é
\vec F\bigl(\vec r(t)\bigr)\cdot \vec r\,'(t)\,dt = \bigl(4\sin t,\,0,\,2\cos t\,e^{2\sin t}\bigr)\cdot\bigl(-2\sin t,\,2\cos t,\,0\bigr)\,dt = -8\sin^2 t\,dt.

Passo 5

Integramos de 0 a 2\pi:
\oint_{C}\vec F\cdot d\vec r = \int_{0}^{2\pi}(-8\sin^2 t)\,dt = -8\int_{0}^{2\pi}\sin^2 t\,dt = -8\cdot\pi
pois \int_{0}^{2\pi}\sin^2 t\,dt=\pi.

Resposta

\iint_{S} \operatorname{rot}\vec F\cdot d\vec S = -8\pi.

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