1. (2,0 pts.) Seja o campo vetorial \vec{F}(x, y, z)=\left(2 y e^{z}, 2 x e^{z}+z^{2}, 2 x y e^{z}+2 y z\right. ). Calcule a integral \int_{C} \vec{F} \cdot d S, onde C é o segmento de reta que parte do ponto (1,2,0) até o ponto (0,3,1).

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
\int_{C}\vec F\cdot d\vec S
onde
\vec F(x,y,z)=\bigl(2y e^{z},\,2x e^{z}+z^{2},\,2xy e^{z}+2yz\bigr)
e C é o segmento de reta de (1,2,0) a (0,3,1).
O conteúdo principal é integral de linha de campo vetorial e o uso do Teorema Fundamental das integrais de linha, após verificar se \vec F é conservativo.

Passo 2

Verificamos se \vec F é conservativo calculando o rotacional \nabla\times\vec F. Seja
P=2y e^{z},\quad Q=2x e^{z}+z^{2},\quad R=2xy e^{z}+2yz.
Então
(\nabla\times\vec F)_1 =\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} =(2x e^{z}+2z)-(2x e^{z}+2z)=0,
(\nabla\times\vec F)_2 =\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x} =(2y e^{z})-(2y e^{z})=0,
(\nabla\times\vec F)_3 =\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =(2 e^{z})-(2 e^{z})=0.
Como \nabla\times\vec F=\vec 0 num domínio simplesmente conexo, \vec F é conservativo.

Passo 3

Procuramos uma função potencial f(x,y,z) tal que \nabla f=\vec F.
Integrando
\frac{\partial f}{\partial x}=2y e^{z}
em relação a x, vem
f(x,y,z)=2xy e^{z}+g(y,z).
Impondo
\frac{\partial f}{\partial y} =2x e^{z}+\frac{\partial g}{\partial y} =2x e^{z}+z^{2},
obtém-se
\frac{\partial g}{\partial y}=z^{2} \quad\Longrightarrow\quad g(y,z)=y z^{2}+h(z).
Finalmente, da condição
\frac{\partial f}{\partial z} =2xy e^{z}+2yz+h'(z) =2xy e^{z}+2yz
segue h'(z)=0.
Logo, podemos tomar
f(x,y,z)=2xy e^{z}+y z^{2}.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental das integrais de linha,
\int_{C}\vec F\cdot d\vec S =f\bigl(0,3,1\bigr)-f\bigl(1,2,0\bigr).
Calculando:
f(0,3,1)=2\cdot0\cdot3\,e^{1}+3\cdot1^{2}=3,
f(1,2,0)=2\cdot1\cdot2\,e^{0}+2\cdot0^{2}=4.
Então
\int_{C}\vec F\cdot d\vec S=3-4=-1.

Resposta

-1

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