- (2,0 pts.) Seja o campo vetorial
). Calcule a integral
, onde
é o segmento de reta que parte do ponto
até o ponto
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de linha
onde
e
é o segmento de reta de
a
.
O conteúdo principal é integral de linha de campo vetorial e o uso do Teorema Fundamental das integrais de linha, após verificar se é conservativo.
O conteúdo principal é integral de linha de campo vetorial e o uso do Teorema Fundamental das integrais de linha, após verificar se
Passo 2
Verificamos se
é conservativo calculando o rotacional
. Seja
Então
Como
num domínio simplesmente conexo,
é conservativo.
Passo 3
Procuramos uma função potencial
tal que
.
Integrando
Integrando
em relação a
, vem
Impondo
obtém-se
Finalmente, da condição
segue
.
Logo, podemos tomar
Logo, podemos tomar
Passo 4
Pelo Teorema Fundamental das integrais de linha,
Calculando:
Então