- (2,0 pts.) Seja o campo vetorial dado
. Qual o trabalho para que uma partícula percorra a curva
dada por
.
Passo 1
O enunciado pede o trabalho
para o campo vetorial
ao longo da curva parametrizada por ,
.
O conteúdo aqui é integral de linha de um campo conservativo: se , então
.
para o campo vetorial
ao longo da curva parametrizada por
O conteúdo aqui é integral de linha de um campo conservativo: se
Passo 2
Para checar que
é conservativo, calculamos as parciais:
e
.
e
.
e
.
Como todas as igualdades valem e o domínio é simplesmente conexo,
é conservativo.
Como todas as igualdades
Passo 3
Procuramos
tal que
.
Integrando em relação a
:
Integrando
Depois
deve ser igual a
, logo
, ou seja
Finalmente, de
igual a
vem
.
Portanto um potencial é
Portanto um potencial é
Passo 4
Aplicando a fórmula do trabalho:
Em
temos
, logo
Em
vem
.
Então
Então
Como
e
, segue
Logo