1. (2,0 pts.) Seja o campo vetorial dado \operatorname{por} \mathbf{F}(x, y, z)=(\operatorname{sen} y, x \cos y+\cos z,-y \operatorname{sen} z). Qual o trabalho para que uma partícula percorra a curva C dada por \vec{r}(t)=(\cos t, \operatorname{sen} t, t / 2), \operatorname{com} 0 \leq t \leq 11 \pi / 2.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho \displaystyle W=\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
para o campo vetorial \mathbf{F}(x,y,z)=(\sin y,\;x\cos y+\cos z,\;-y\sin z)
ao longo da curva parametrizada por \displaystyle \mathbf{r}(t)=(\cos t,\;\sin t,\;t/2), 0\le t\le 11\pi/2.
O conteúdo aqui é integral de linha de um campo conservativo: se \mathbf{F}=\nabla f, então \displaystyle W=f(\mathbf{r}(11\pi/2))-f(\mathbf{r}(0)).

Passo 2

Para checar que \mathbf{F} é conservativo, calculamos as parciais: \partial F_1/\partial y=\cos y e \partial F_2/\partial x=\cos y. \partial F_1/\partial z=0 e \partial F_3/\partial x=0. \partial F_2/\partial z=-\sin z e \partial F_3/\partial y=-\sin z.
Como todas as igualdades \partial F_i/\partial x_j = \partial F_j/\partial x_i valem e o domínio é simplesmente conexo, \mathbf{F} é conservativo.

Passo 3

Procuramos f tal que \nabla f=\mathbf{F}.
Integrando f_x=\sin y em relação a x:
f(x,y,z)=x\sin y + g(y,z).
Depois f_y=x\cos y + g_y deve ser igual a x\cos y+\cos z, logo g_y=\cos z, ou seja
g(y,z)=y\cos z + h(z).
Finalmente, de f_z=-y\sin z + h'(z) igual a -y\sin z vem h'(z)=0.
Portanto um potencial é
f(x,y,z)=x\sin y \;+\;y\cos z.

Passo 4

Aplicando a fórmula do trabalho:
W = f\bigl(\mathbf{r}(11\pi/2)\bigr)-f\bigl(\mathbf{r}(0)\bigr).
Em t=0 temos \mathbf{r}(0)=(1,0,0), logo
f(1,0,0)=1\cdot\sin0 + 0\cdot\cos0 = 0.
Em t=11\pi/2 vem \mathbf{r}(11\pi/2)=(\cos(11\pi/2),\,\sin(11\pi/2),\,11\pi/4)=(0,-1,11\pi/4).
Então
f(0,-1,11\pi/4) =0\cdot\sin(-1)\;+\;(-1)\cos\!\bigl(11\pi/4\bigr) =-\cos\!\bigl(11\pi/4\bigr).
Como 11\pi/4=2\pi+3\pi/4 e \cos(3\pi/4)=-\tfrac{\sqrt2}{2}, segue
f(0,-1,11\pi/4)=-\bigl(-\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr)=\tfrac{\sqrt2}{2}.
Logo
W=\tfrac{\sqrt2}{2}-0=\tfrac{\sqrt2}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt2}{2}

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