(4 pts) Calcule a integral de linha \int_{C}\left(2 y+e^{\sqrt{x}}\right) d x+\left(3 x+\cos y^{2}\right) d y, onde C é a fronteira da região delimitada pelas parábolas y=x^{2} e x=y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha fechada
\oint_{C}P\,dx + Q\,dy
onde P(x,y)=2y+e^{\sqrt{x}} e Q(x,y)=3x+\cos y^2, e C é a fronteira da região D limitada pelas parábolas \;y=x^2 e \;x=y^2. Vamos usar o Teorema de Green, que diz
\oint_{C}P\,dx + Q\,dy \;=\;\iint_{D}\bigl(\tfrac{\partial Q}{\partial x}-\tfrac{\partial P}{\partial y}\bigr)\,dA.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
\tfrac{\partial Q}{\partial x} =\tfrac{\partial}{\partial x}(3x+\cos y^2) =3,
\tfrac{\partial P}{\partial y} =\tfrac{\partial}{\partial y}(2y+e^{\sqrt{x}}) =2.
Logo o integrando de Green é
\tfrac{\partial Q}{\partial x}-\tfrac{\partial P}{\partial y} =3-2=1.

Passo 3

Precisamos então da área de D, já que
\oint_{C}P\,dx + Q\,dy =\iint_{D}1\,dA =\text{área}(D).á
Para isso achamos os pontos de interseção de y=x^2 e x=y^2: substituindo x=y^2 em y=x^2
y=(y^2)^2=y^4 \;\Longrightarrow\; y(y^3-1)=0 \;\Longrightarrow\; y=0\text{ ou }y=1.
Assim os vértices são (0,0) e (1,1). No primeiro quadrante, a curva y=x^2 fica abaixo de y=\sqrt{x}.

Passo 4

A área de D é
\int_{x=0}^{1}\bigl(\sqrt{x}-x^2\bigr)\,dx =\int_{0}^{1}x^{1/2}\,dx \;-\;\int_{0}^{1}x^2\,dx.
Calculando:
\int_{0}^{1}x^{1/2}\,dx =\Bigl[\tfrac{2}{3}x^{3/2}\Bigr]_{0}^{1} =\tfrac{2}{3},
\int_{0}^{1}x^2\,dx =\Bigl[\tfrac{1}{3}x^3\Bigr]_{0}^{1} =\tfrac{1}{3}.
Portanto
\text{área}(D) =\tfrac{2}{3}-\tfrac{1}{3} =\tfrac{1}{3}.á

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

Exercícios relacionados