(3 pts) Calcule a integral de linha \int_{C}\left(2 y+\cos \left(e^{x}\right)\right) d x+\left(11 x-\sqrt[3]{y^{6}+1}\right) d y, onde C é o círculo x^{2}+y^{2}=4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada
\int_{C}\bigl(2y+\cos(e^{x})\bigr)\,dx \;+\;\bigl(11x-\sqrt[3]{y^{6}+1}\bigr)\,dy
onde C é o círculo x^{2}+y^{2}=4. O conteúdo da matéria é o Teorema de Green, pois temos uma curva simples fechada e funções P e Q de classe C^{1} num domínio que contém o disco interior.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=2y+\cos(e^{x}), \qquad Q(x,y)=11x-\sqrt[3]{y^{6}+1}.
Como C é orientado positivamente (contra-horário) e P,Q são C^{1} no disco D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le4\}, podemos usar
\int_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}\bigl(\partial_x Q-\partial_y P\bigr)\,dA.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x}=11, \qquad \frac{\partial P}{\partial y}=2,
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\partial_x Q-\partial_y P=11-2=9.

Passo 4

Aplicando Green:
\iint_{D}9\,dA =9\iint_{D}dA =9\,\mathrm{Area}(D).
Como D é o disco de raio 2,
\mathrm{Area}(D)=\pi\cdot2^{2}=4\pi,
então
\int_{C}P\,dx+Q\,dy =9\cdot4\pi=36\pi.

Resposta

\displaystyle 36\pi

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