Q 2\left(2.0\right. ptos) Seja a função f(x, y)=\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}} se (x, y) \neq(0,0) e f(0,0)=0.
(a) ( 0.5 ptos) Obtenha a derivada direcional da função f na direção do vetor (a, b) \neq(0,0) pela origem, caso exista.
(b) (1.5 ptos) Obtenha o valor máximo da derivada direcional da função f, na origem, quando a direção \vec{v} varia no círculo unitário.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}},& (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,&(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede:
(a) a derivada direcional de f na origem na direção de (a,b)\neq(0,0), e
(b) o valor máximo dessa derivada quando a direção varia sobre o círculo unitário.]

Passo 2

Lembrando a definição de derivada direcional em (0,0) na direção do vetor (a,b):
D_{(a,b)}f(0,0) =\lim_{t\to0}\frac{f(t\,a,t\,b)-f(0,0)}{t}\,.

Passo 3

Vamos calcular f(ta,tb) para (a,b)\neq(0,0):
f(ta,tb) =\frac{(ta)^{2}\,(tb)}{(ta)^{2}+(tb)^{2}} =\frac{t^{3}a^{2}b}{t^{2}(a^{2}+b^{2})} =t\;\frac{a^{2}b}{a^{2}+b^{2}}.
Logo, dividindo por t e passando ao limite, obtemos
D_{(a,b)}f(0,0) =\frac{a^{2}b}{a^{2}+b^{2}}.

Passo 4

Para achar o máximo quando a direção varia no círculo unitário, impomos a^{2}+b^{2}=1. Nesse caso
D_{(a,b)}f(0,0)=a^{2}b.
Escrevendo a=\cos\theta, b=\sin\theta, define-se
g(\theta)=\cos^{2}\theta\;\sin\theta.

Passo 5

Para maximizar g(\theta), calculamos
g'(\theta) =\frac{d}{d\theta}(\cos^{2}\theta\sin\theta) =\cos\theta\bigl(\cos^{2}\theta-2\sin^{2}\theta\bigr).
As soluções de g'(\theta)=0 são
\cos\theta=0\quad\text{(dá }g=0\text{)} \quad\text{ou}\quad \cos^{2}\theta=2\sin^{2}\theta \quad\Longrightarrow\quad \sin^{2}\theta=\tfrac13,\;\cos^{2}\theta=\tfrac23.á
Nesse último caso
g(\theta)=\cos^{2}\theta\,\sin\theta =\tfrac23\;\frac{1}{\sqrt{3}} =\frac{2}{3\sqrt{3}}.
É fácil verificar que esse valor é o máximo.

Resposta

(a) D_{(a,b)}f(0,0)=\displaystyle\frac{a^{2}b}{a^{2}+b^{2}}.
(b) O valor máximo é \displaystyle\frac{2}{3\sqrt{3}}.

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