Questāo 1 \qquad
Calcule a integral de linha \int_{7} 2 x d s, sendo \gamma o arco da parábola y=x^{2} de (0,0) a (1,1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{\gamma}2x\,ds
onde \gamma é o arco da parábola y=x^{2} que vai de (0,0) até (1,1).
O conteúdo aqui é “integral de uma função escalar ao longo de um arco de curva” (ou integral em relação ao comprimento de arco). Para resolver, vamos parametrizar a curva, expressar ds em termos do parâmetro e então integrar.

Passo 2

Parametrizamos a curva escolhendo
x(t)=t,\quad y(t)=t^{2},\qquad 0\le t\le1.
Então
\frac{dx}{dt}=1,\qquad \frac{dy}{dt}=2t,
e o elemento de arco é
ds=\sqrt{\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)^{2}}\;dt =\sqrt{1+(2t)^{2}}\;dt =\sqrt{1+4t^{2}}\;dt.

Passo 3

Substituindo na integral, como x=t, fica
\int_{\gamma}2x\,ds =\int_{0}^{1}2\,t\;\sqrt{1+4t^{2}}\;dt.

Passo 4

Para calcular
\displaystyle \int_{0}^{1}2t\sqrt{1+4t^{2}}\,dt, usamos a substituição
u=1+4t^{2} \quad\Longrightarrow\quad du=8t\,dt \quad\Longrightarrow\quad t\,dt=\frac{du}{8}.
Logo
\int_{0}^{1}2t\sqrt{1+4t^{2}}\,dt =2\int_{u(0)=1}^{u(1)=5}\sqrt{u}\,\frac{du}{8} =\frac{1}{4}\int_{1}^{5}u^{\tfrac12}\,du.
A integral de u^{1/2} é \tfrac{2}{3}u^{3/2}, então
\frac{1}{4}\int_{1}^{5}u^{\tfrac12}\,du =\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}\Bigl[u^{\tfrac{3}{2}}\Bigr]_{1}^{5} =\frac{1}{6}\bigl(5^{\tfrac{3}{2}}-1^{\tfrac{3}{2}}\bigr) =\frac{1}{6}\bigl(5\sqrt{5}-1\bigr).

Resposta

\frac{5\sqrt{5}-1}{6}.

Exercícios relacionados