Très cart as sỉo retiradas ao acaso e sem reposiçāo de um baralho regular de 52 cartas. Calcule a probabilidade de que:
(b) (1 pt.) saia pelo menos uma carta de paus ou de espadas.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • São retiradas 3 cartas ao acaso e sem reposição de um baralho regular de 52 cartas.
  • Queremos a probabilidade de que saia pelo menos uma carta de paus ou de espadas.
O que é pedido:
  • Calcular P(\text{pelo menos uma carta de paus ou espadas}).

Passo 2

Estratégia (ideia principal, sem resolver ainda): é mais fácil usar a regra do complemento. A expressão “pelo menos uma carta de paus ou espadas” significa que não queremos o evento “nenhuma carta de paus nem de espadas”. Como paus e espadas são os dois naipes pretos, o evento complementar é “todas as 3 cartas são vermelhas” (copas ou ouros). Logo:
P(\text{pelo menos uma preta}) = 1 - P(\text{todas as \(3\) vermelhas}).
Esta é uma técnica muito útil em prova: às vezes calcular o complementar é menos trabalhoso.

Passo 3

Calcular P(\text{todas as \(3 vermelhas})) passo a passo, usando probabilidades condicionais (sem reposição):
  • No baralho há 26 cartas vermelhas (copas + ouros) entre 52 cartas, então a probabilidade da primeira ser vermelha é \dfrac{26}{52}.
  • Se a primeira foi vermelha, restam 25 vermelhas entre 51 cartas, então a probabilidade da segunda ser vermelha é \dfrac{25}{51}.
  • Se as duas primeiras foram vermelhas, restam 24 vermelhas entre 50 cartas, então a probabilidade da terceira ser vermelha é \dfrac{24}{50}.
Como os eventos são sequenciais (sem reposição), multiplica-se:
P(\text{todas vermelhas})=\dfrac{26}{52}\cdot\dfrac{25}{51}\cdot\dfrac{24}{50}.
Agora simplificando passo a passo:
\dfrac{26}{52}=\dfrac{1}{2},\qquad \dfrac{24}{50}=\dfrac{12}{25},
então
P(\text{todas vermelhas})=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{25}{51}\cdot\dfrac{12}{25}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{12}{51}=\dfrac{6}{51}=\dfrac{2}{17}.

Passo 4

Aplicar o complemento para obter a resposta pedida:
P(\text{pelo menos uma preta})=1 - P(\text{todas vermelhas})=1-\dfrac{2}{17}=\dfrac{15}{17}.

Passo 5

(Verificação alternativa por contagem combinatória, útil para praticar outro método)
  • Número total de maneiras de escolher 3 cartas de 52: \dbinom{52}{3}.
  • Número de maneiras de escolher 3 cartas todas vermelhas: \dbinom{26}{3}.
    Assim
P(\text{todas vermelhas})=\dfrac{\dbinom{26}{3}}{\dbinom{52}{3}}=\dfrac{2600}{22100}=\dfrac{2}{17},
o que confirma o resultado anterior. Portanto P(\text{pelo menos uma preta})=\dfrac{15}{17}.

Resposta

\dfrac{15}{17}

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