( 2 pts ) As componentes cartesianas (vi) das velocidades das moléculas de massa m de um gás ideal em equilíbrio térmico à temperatura T são variáveis aleatórias que obedecem à distribuição gaussiana ( rho ),
rho(vi)=a e^-12 m vi^2 / k T (i=1,2,3)
sendo k simeq 1,38 times 10^-23 J / K a constante de Boltzmann.
Determine:
a) o valor médio de cada componente;
b) a constante de normalização;
c) a energia cinética média das moléculas.

Passo 1

O enunciado nos dá a distribuição gaussiana de cada componente de velocidade rho(vi)=a,e^-12m vi^2/(kT) para i=1,2,3. Precisamos calcular:
  1. o valor médio lang<= virang<=;
  2. a constante de normalização a;
  3. a energia cinética média da molécula lang<= tfrac12 m(v1^2+v2^2+v3^2)rang<=.
    Vamos usar propriedades de integrais gaussianas e independência das componentes.

Passo 2

Como rho(vi) é função par em vi multiplicada por vi (função ímpar), o valor médio é
lang<= virang<= = integral-infty^infty vi,rho(vi),dvi = aintegral-infty^infty vi ,e^-m vi^22kTdvi = 0

Passo 3

Impondo normalização em uma dimensão:
integral-infty^inftyrho(vi),dvi = aintegral-infty^inftye^-m vi^22kTdvi =1
Usando
integral-infty^inftye^-alpha x^2dx=raizpialpha,
com alpha = tfracm2kT, vem
a,raiz2pi kTm=1 Longrightarrow a=raizm2pi kT

Passo 4

A energia cinética média de uma molécula é
lang<= Erm cinrang<= =lang<=tfrac12 m(v1^2+v2^2+v3^2)rang<= =sumi=1^3tfrac12 mlang<= vi^2rang<=
Para cada componente,
lang<= vi^2rang<= =integral-infty^inftyvi^2,rho(vi),dvi =;aintegral-infty^inftyvi^2e^-m vi^22kTdvi
Usando o resultado integral-infty^infty x^2 e^-alpha x^2dx=tfrac12raizpi/alpha^3/2, obtemos
lang<= vi^2rang<= =kTm,
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tfrac12 mlang<= vi^2rang<= = tfrac12 kT,
e somando as três componentes
lang<= Erm cinrang<= = 3cdottfrac12 kT = tfrac32,kT

Resposta

a) lang<= virang<==0.
b) a=raizdfracm2pi kT.
c) lang<= Erm cinrang<==tfrac32,kT.

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