( 2 pts ) As componentes cartesianas
das velocidades das moléculas de massa
de um gás ideal em equilíbrio térmico à temperatura
são variáveis aleatórias que obedecem à distribuição gaussiana (
),
sendo
a constante de Boltzmann.
Determine:
a) o valor médio de cada componente;
b) a constante de normalização;
c) a energia cinética média das moléculas.
Determine:
a) o valor médio de cada componente;
b) a constante de normalização;
c) a energia cinética média das moléculas.
Passo 1
O enunciado nos dá a distribuição gaussiana de cada componente de velocidade
para
. Precisamos calcular:
- o valor médio
; - a constante de normalização
; - a energia cinética média da molécula
.
Vamos usar propriedades de integrais gaussianas e independência das componentes.
Passo 2
Como
é função par em
multiplicada por
(função ímpar), o valor médio é
Passo 3
Impondo normalização em uma dimensão:
Usando
com
, vem
Passo 4
A energia cinética média de uma molécula é
Para cada componente,
Usando o resultado
, obtemos
logo
e somando as três componentes
Resposta
a)
.
b) .
c) .
b)
c)