( 2 pts ) A distribuição de probabilidades (
) das posições ao longo de uma direção
de um conjunto de osciladores harmônicos idênticos, independentes e localizados, em equilíbrio térmico a temperatura
, é dada por
em que
e
são, respectivamente, a energia potencial, a massa e a frequência natural de cada oscilador, e
é a constante de Boltzmann.
Determine:
a) a constante de normalização;
b) a energia potencial média de cada oscilador.
Determine:
a) a constante de normalização;
b) a energia potencial média de cada oscilador.
Passo 1
O enunciado dá a distribuição de probabilidades
em
. Precisamos (a) achar a constante
impondo
e (b) calcular a energia potencial média
. Usaremos integrais gaussianas e, no fim, o princípio de equipartição de energia.
Passo 2
Para normalizar, escrevemos
Reconhecendo a integral gaussiana
com
, obtemos
logo
Passo 3
Para a energia potencial média, calculamos
Usamos
com
igual ao valor acima, e
. Fazendo as contas, chega-se a
Passo 4
Esse resultado confere com o teorema de equipartição de energia, que garante
para cada grau de liberdade harmônico.
Resposta
a)
b)
b)