( 2 pts ) A distribuição de probabilidades ( rho ) das posições ao longo de uma direção x de um conjunto de osciladores harmônicos idênticos, independentes e localizados, em equilíbrio térmico a temperatura T, é dada por
rho(x)=A e^-epsilonP /(k T) (-infty<x<infty)
em que epsilonP=12 m omega0^2 x^2, m e omega0 são, respectivamente, a energia potencial, a massa e a frequência natural de cada oscilador, e k é a constante de Boltzmann.
Determine:
a) a constante de normalização;
b) a energia potencial média de cada oscilador.

Passo 1

O enunciado dá a distribuição de probabilidades
rho(x)=Aexpl(-epsilonPkTr) com epsilonP=12momega0^2x^2,
em -infty<x<infty. Precisamos (a) achar a constante A impondo integral-infty^inftyrho(x),dx=1 e (b) calcular a energia potencial média
lang<=epsilonPrang<==integral-infty^inftyepsilonP,rho(x),dx. Usaremos integrais gaussianas e, no fim, o princípio de equipartição de energia.

Passo 2

Para normalizar, escrevemos
1=integral-infty^inftyrho(x),dx = Aintegral-infty^inftyexp!l(-momega0^22kTx^2r),dx
Reconhecendo a integral gaussiana
integral-infty^inftye^-a x^2,dx=raizpia,
com a=dfracmomega0^22kT, obtemos
1 = Araizpia = Araizpi,momega0^2/(2kT), = Araiz2pi kTmomega0^2,
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A =raizmomega0^22pi kT

Passo 3

Para a energia potencial média, calculamos
lang<=epsilonPrang<= = integral-infty^infty 12momega0^2x^2,A,e^-momega0^22kTx^2,dx
Usamos
integral-infty^inftyx^2e^-a x^2,dx =12raizpia^3,
com a igual ao valor acima, e A=raiza/pi. Fazendo as contas, chega-se a
lang<=epsilonPrang<= =12kT

Passo 4

Esse resultado confere com o teorema de equipartição de energia, que garante lang<=epsilonPrang<==tfrac12kT para cada grau de liberdade harmônico.

Resposta

a) A=raizmomega0^22pi kT
b) lang<=epsilonPrang<==12kT

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