( 2 pts ) As posições de uma partícula confinada ao longo de uma reta na direção
, entre os pontos
e
distribuem-se segundo uma densidade de probabilidade proporcional a
.
a) Normalize a densidade de probabilidade de presença da partícula.
b) Determine o valor médio e o desvio padrão (incerteza) associados à posição da partícula.
a) Normalize a densidade de probabilidade de presença da partícula.
b) Determine o valor médio e o desvio padrão (incerteza) associados à posição da partícula.
Passo 1
O enunciado diz que a partícula está confinada em [0,a] e que a densidade de probabilidade é proporcional a
. O conteúdo envolve normalização de densidade, cálculo de valores médios
e desvio padrão
. Vamos usar a identidade
e integração por partes quando necessário.
Passo 2
Para normalizar definimos
em [0,a] tal que
. Usando
, obtemos
Passo 3
Passo 4
O valor médio é
. Escrevendo
e notando que
por simetria de oscilação, fica
Passo 5
Passo 6
Para o segundo momento,
Passo 7
Passo 8
A variância é
. Portanto
Passo 9
Resposta
a)
em [0,a].
b) e
.
b)