( 2 pts ) As posições de uma partícula confinada ao longo de uma reta na direção x, entre os pontos x=0 e x=a distribuem-se segundo uma densidade de probabilidade proporcional a sen^2 2 pia x.
a) Normalize a densidade de probabilidade de presença da partícula.
b) Determine o valor médio e o desvio padrão (incerteza) associados à posição da partícula.

Passo 1

O enunciado diz que a partícula está confinada em [0,a] e que a densidade de probabilidade é proporcional a sen^2l(tfrac2piaxr). O conteúdo envolve normalização de densidade, cálculo de valores médios <x^n> e desvio padrão sigma=raiz<x^2>-<x>^2. Vamos usar a identidade sen^2θ=tfrac1-cos2θ2 e integração por partes quando necessário.

Passo 2

Para normalizar definimos f(x)=A,sen^2l(tfrac2piaxr) em [0,a] tal que integral0^a f(x),dx=1. Usando integral0^asen^2l(tfrac2piaxr)dx=tfrac a2, obtemos

Passo 3

Acdot a2=1Rightarrow A=2a,

Passo 4

O valor médio é <x>=integral0^a x,f(x),dx=2aintegral0^a xsen^2l(tfrac2piaxr)dx. Escrevendo sen^2=(1-cos(4pi x/a))/2 e notando que integral0^a xcos(4pi x/a)dx=0 por simetria de oscilação, fica

Passo 5

<x>=2acdot12integral0^a x,dx=1acdota^22=a2,

Passo 6

Para o segundo momento,

Passo 7

<x^2>=2aintegral0^a x^2sen^2l(tfrac2piaxr)dx =2al(a^36-a(4pi/a)^2r) =a^23-a^28pi^2,

Passo 8

A variância é sigma^2=<x^2>-<x>^2= a^2l(tfrac13-tfrac14-tfrac18pi^2r)=a^2tfrac2pi^2-324pi^2. Portanto

Passo 9

sigma= araiz2pi^2-324pi^2,

Resposta

a) f(x)=2a,sen^2l(tfrac2piaxr) em [0,a].
b) <x>=tfraca2 e sigma= araiztfrac2pi^2-324pi^2.

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