(2 pts) As posições de uma partícula ao longo de uma direção x obedecem a seguinte distribuição uniforme ( rho ).
rho(x)=cc 0 & x<0 A & 0 <= x <= 1 0 & x>1
a) Normalize a densidade de probabilidade de presença da partícula.
b) Determine o valor médio e o desvio padrão (incerteza) associados à posição da partícula.

Passo 1

O enunciado apresenta a densidade de probabilidade uniforme rho(x) de uma partícula no intervalo [0,1]. O conteúdo aqui é distribuição contínua: vamos usar a condição de normalização e as definições de valor médio (expectation) e desvio padrão (incerteza) para posição.

Passo 2

Para normalizar rho(x) precisamos satisfazer
integral-infty^+inftyrho(x),dx=1
Como rho(x)=A em [0,1] e zero fora, temos
integral0^1A,dx=Al[xr]0^1=A=1
Logo, A=1.

Passo 3

O valor médio da posição é dado por
lang<= xrang<==integral-infty^+inftyx,rho(x),dx=integral0^1xcdot1,dx=l[tfracx^22r]0^1=tfrac12

Passo 4

Para o desvio padrão primeiro calculamos o segundo momento
lang<= x^2rang<==integral0^1x^2cdot1,dx=l[tfracx^33r]0^1=tfrac13
A variância é
sigma^2=lang<= x^2rang<=-lang<= xrang<=^2=tfrac13-l(tfrac12r)^2=tfrac112

Passo 5

O desvio padrão é a raiz da variância:
sigma=raiztfrac112=tfrac12raiz3

Resposta

A = 1; \langle x\rangle = \tfrac12; \sigma = \tfrac{1}{2\sqrt{3}}

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