(3,0 pts) Considere o campo vetorial
F(x, y, z)=P(x, y, z) i+Q(x, y, z) j+R(x, y, z) k
onde P(x, y, z)=y+cos (y^2+z^2), Q(x, y, z)=x-2 x y sen(y^2+z^2) e R(x, y, z)=2-2 x z sen(y^2+z^2)
(1,0 pts) Calcule integralr F cdot d r, onde r é a curva parametrizada por
r(t)=(cos t) i+(sen t) j+(raizt) k, 0 <= t <= pi

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralvec r!vec Fcdot dvec r do campo vec F(x,y,z)=P,vec i+Q,vec j+R,vec k dado e da curva vec r(t)=(cos t,,sin t,,raiz t), 0<= t<=pi. Como esse tipo de integral fica bem mais fácil se vec F for conservativo, vamos tentar achar uma função potencial.

Passo 2

Para ver se vec F é conservativo, buscamos phi(x,y,z) tal que nablaphi=vec F. Começamos integrando P=y+cos(y^2+z^2) em relação a x:
phi(x,y,z)=integral P,dx=xy+xcos(y^2+z^2)+g(y,z)
Agora derivamos essa expressão: em relação a y temos
partialphi/partial y=x-2xysin(y^2+z^2)+gy e igualamos a Q=x-2xysin(y^2+z^2), obtendo gy=0. Em relação a z:
partialphi/partial z=-2xzsin(y^2+z^2)+gz igual a R=2-2xzsin(y^2+z^2) gz=2. Integrando, g(y,z)=2z. Assim
phi(x,y,z)=xy+xcos(y^2+z^2)+2z

Passo 3

Aplicamos então o teorema fundamental:
integralvec r!vec Fcdot dvec r=phil(vec r(pi)r)-phil(vec r(0)r)
Como
vec r(0)=(1,0,0) e vec r(pi)=(-1,0,raizpi), temos
phi(-1,0,raizpi)=1+2raizpi e phi(1,0,0)=1,
então a integral vale a diferença desses valores.

Resposta

2raizpi

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