O enunciado pede para calcular a integral de linha integralvec r!vec Fcdot dvec r do campo vec F(x,y,z)=P,vec i+Q,vec j+R,vec k dado e da curva vec r(t)=(cos t,,sin t,,raiz t), 0<= t<=pi. Como esse tipo de integral fica bem mais fácil se vec F for conservativo, vamos tentar achar uma função potencial.
Passo 2
Para ver se vec F é conservativo, buscamos phi(x,y,z) tal que nablaphi=vec F. Começamos integrando P=y+cos(y^2+z^2) em relação a x:
phi(x,y,z)=integral P,dx=xy+xcos(y^2+z^2)+g(y,z)
Agora derivamos essa expressão: em relação a y temos partialphi/partial y=x-2xysin(y^2+z^2)+gy e igualamos a Q=x-2xysin(y^2+z^2), obtendo gy=0. Em relação a z: partialphi/partial z=-2xzsin(y^2+z^2)+gz igual a R=2-2xzsin(y^2+z^2) dá gz=2. Integrando, g(y,z)=2z. Assim