Seja L: R^+ R uma função logarítmica. Considere as afirmativas abaixo:
i. Para todo x>0, vale que L(1x)=-L(x).
ii. L(1)=0.
iii. L(x+y)=L(x) cdot L(y), para quaisquer x, y reais positivos.
Assinale a alternativa que indica todas as afirmativas corretas: É correta apenas a afirmativa (i).

Passo 1

O enunciado pede para analisar três propriedades de uma função logarítmica L:R^+toR e identificar quais são verdadeiras.

Passo 2

Pela definição de logaritmo, para todo x>0 temos Ll(1/xr)=Ll(x^-1r)= -1cdot L(x). Logo, a afirmativa (i) é verdadeira. Além disso, também sabemos que L(1)=loga(1)=0 para qualquer base a>0, aneq1, então a afirmativa (ii) também é verdadeira.

Passo 3

A propriedade correta do logaritmo para soma de argumentos é L(xy)=L(x)+L(y), não existe a relação L(x+y)=L(x)cdot L(y). Portanto, a afirmativa (iii) é falsa.

Resposta

As afirmativas corretas são (i) e (ii).

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