Questão 1 ( \mathbf{4 , 0} pts): Considere dois anéis de carga localizados nos planos z= \pm z_{0}. Dado que os anéis têm uma densidade linear de carga uniforme, calcule o campo elétrico no ponto de coordenadas (0,0,0), se:
(b) (0,5) O raio dos dois anéis é igual r=r_{0} e a carga total nos dois anéis é negativa.

Passo 1

O enunciado descreve dois anéis de carga, cada um com raio uniforme r_{0}$, localizados nos planos z=+z_{0} e z=-z_{0}. Ambos os anéis têm densidade linear uniforme e carga total igual a um valor Q negativo. Queremos o campo elétrico resultante em (0,0,0). Para isso, vamos usar a fórmula do campo no eixo de um anel de raio r_{0} e carga Q.

Passo 2

Recordando a teoria: o módulo do campo elétrico no eixo de um anel de raio r_{0} e carga Q em um ponto situado a uma distância z do centro do anel é dado por
E(z) \;=\; \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Q\,z}{\bigl(r_{0}^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2}},
e o vetor campo aponta ao longo do eixo perpendicular ao plano do anel, no sentido determinado pelo sinal de Q.

Passo 3

Para o anel que está em z=+z_{0}, o ponto (0,0,0) fica a uma distância z_{0} “abaixo” do plano do anel. Se escrevermos a coordenada relativa z_{\rm rel}=0 - (+z_{0})=-\,z_{0}, o campo gerado por esse anel em (0,0,0) vale
E_{1} \;=\; \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Q\,(-z_{0})}{\bigl(r_{0}^{2}+z_{0}^{2}\bigr)^{3/2}}.
Como Q é negativo, Q(-z_{0}) é positivo, o que significa que o vetor campo de módulo
\bigl|E_{1}\bigr| \;=\; \frac{|Q|\,z_{0}}{4\pi\varepsilon_{0}\,\bigl(r_{0}^{2}+z_{0}^{2}\bigr)^{3/2}}
aponta no sentido +\hat{k} (isto é, “para cima”, em direção ao anel).

Passo 4

Para o anel em z=-z_{0}, a coordenada relativa é z_{\rm rel}=0-(-z_{0})=+z_{0}, de modo que
E_{2} \;=\; \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Q\,(+z_{0})}{\bigl(r_{0}^{2}+z_{0}^{2}\bigr)^{3/2}}.
Aqui Q é negativo, então Q\,(+z_{0}) é negativo, o módulo é o mesmo de E_{1} mas o vetor aponta em -\hat{k} (“para baixo”, em direção ao anel).

Passo 5

Somando os dois vetores, como eles têm o mesmo módulo e sentidos opostos, obtemos
\mathbf{E}_{\rm total} \;=\; \mathbf{E}_{1} + \mathbf{E}_{2} \;=\; 0.

Resposta

O campo elétrico resultante em (0,0,0) é nulo, isto é,
\mathbf{E}(0,0,0)=\mathbf{0}.

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