(Simmons, pag 106, 3c) Encontre a solução geral de y^prime prime-2 y^prime-3 y= 64 t e^-t. Resposta parcial: yp=-e^-t(8 t^2+4 t+1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
y'' - 2y' - 3y = 64t e^-t
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea ( yh) e uma solução particular ( yp). Já temos uma parte da solução particular, então vamos seguir em frente!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
y'' - 2y' - 3y = 0
Para isso, assumimos que a solução tem a forma yh = e^rt, onde r é um número que vamos encontrar.

Passo 3

Substituindo yh = e^rt na equação homogênea, temos:
r^2 e^rt - 2r e^rt - 3e^rt = 0
Como e^rt nunca é zero, podemos dividir toda a equação por e^rt:
r^2 - 2r - 3 = 0

Passo 4

Agora, resolvemos a equação característica:
r^2 - 2r - 3 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
r = 2 pm raiz(2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-3)2 cdot 1 = 2 pm raiz162 = 2 pm 42
Então, temos as raízes:
r1 = 3 e r2 = -1

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh = C1 e^3t + C2 e^-t,
onde C1 e C2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se houver).

Passo 6

Agora, sabemos que a solução particular já foi dada:
yp = -e^-t(8t^2 + 4t + 1)
Essa solução específica satisfaz a equação original não homogênea.

Passo 7

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y = yh + yp = C1 e^3t + C2 e^-t - e^-t(8t^2 + 4t + 1)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 e^3t + C2 e^-t - e^-t(8t^2 + 4t + 1),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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