(Simmons, pag 106, 3c) Encontre a solução geral de
. Resposta parcial:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (
) e uma solução particular (
). Já temos uma parte da solução particular, então vamos seguir em frente!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para isso, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é um número que vamos encontrar.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea, temos:
Como
nunca é zero, podemos dividir toda a equação por
:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação característica:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos as raízes:
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se houver).
Passo 6
Agora, sabemos que a solução particular já foi dada:
Essa solução específica satisfaz a equação original não homogênea.
Passo 7
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.