4- (2,0 pts) Considere a matriz A=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 1 & t \\\\ -1 & t & 1 \\\\ 1 & -1 & 1\end{array}\right), onde t \in \mathbb{R}.
a) Encontre os valores de t para os quais a matriz A é inversível.
b) Calcule A^{-1} em função de t.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} -1 & 1 & t\\\\ -1 & t & 1\\\\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix},
onde t\in\mathbb{R}, e pede:
a) para quais t a matriz é invertível;
b) calcular A^{-1} em função de t.
O conteúdo envolvido é determinante (para checar invertibilidade) e adjunta/adjugado (para calcular a inversa).

Passo 2

Uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for não nulo. Portanto vamos calcular \det(A).

Passo 3

Expandindo \det(A) pela primeira linha:
\det(A) = (-1)\det\begin{pmatrix}t&1\\\ -1&1\end{pmatrix} -1\det\begin{pmatrix}-1&1\\\ 1&1\end{pmatrix} +t\det\begin{pmatrix}-1&t\\\ 1&-1\end{pmatrix}.
Agora cada menor:
\det\begin{pmatrix}t&1\\\ -1&1\end{pmatrix} =t\cdot1-1\cdot(-1)=t+1, \quad \det\begin{pmatrix}-1&1\\\ 1&1\end{pmatrix} =(-1)\cdot1-1\cdot1=-2,
\det\begin{pmatrix}-1&t\\\ 1&-1\end{pmatrix} =(-1)\cdot(-1)-t\cdot1=1-t.
Substituindo:
\det(A) =(-1)(t+1)-1(-2)+t(1-t) =-t-1+2+t-t^2 =1-t^2.

Passo 4

Logo
\det(A)=1-t^2,
e A é invertível se, e somente se, 1-t^2\neq0.
Isto é,
t\neq\pm1.

Passo 5

Para obter A^{-1} usamos a fórmula
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\,\adj(A),
onde \adj(A) é a transposta da matriz de cofatores de A. Cada cofactor C_{ij} é dado por
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij},
sendo M_{ij} o menor obtido ao eliminar linha i e coluna j.

Passo 6

Calculando todos os cofatores, obtemos a matriz de cofatores
\begin{pmatrix} t+1 & 2 & 1-t\\\\ -1-t& -1-t & 0 \\\\ 1-t^2 & 1-t & 1-t \end{pmatrix}.
Então
\adj(A) =\begin{pmatrix} t+1 & -1-t & 1-t^2\\\\ 2 & -1-t & 1-t \\\\ 1-t & 0 & 1-t \end{pmatrix}.

Passo 7

Portanto, para t\neq\pm1,
A^{-1} =\frac{1}{1-t^2} \begin{pmatrix} t+1 & -\,\bigl(t+1\bigr) & 1-t^2\\\\ 2 & -\,\bigl(t+1\bigr) & 1-t \\\\ 1-t & 0 & 1-t \end{pmatrix}.
Note que o elemento (1,3) fica \tfrac{1-t^2}{1-t^2}=1, mas mantivemos a forma fatorada.

Resposta

a) A é invertível exatamente quando
t\neq\pm1.
b) Para t\neq\pm1,
A^{-1} =\frac{1}{1-t^2} \begin{pmatrix} t+1 & -\,(t+1) & 1-t^2\\\\ 2 & -\,(t+1) & 1-t \\\\ 1-t & 0 & 1-t \end{pmatrix}.

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