Em relação ao produto interno
\left(x_{1}, y_{1}\right) \cdot\left(x_{2}, y_{2}\right)= 2 x_{1} x_{2}+3 y_{1} y_{2} do \mathbb{R}^{2} calcule u . v sendo dados:
u=(-3,4) e v=(5,-2)

Passo 1

O enunciado nos dá em \mathbb{R}^2 o produto interno definido por
\langle(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\rangle \;=\;2\,x_{1}x_{2}+3\,y_{1}y_{2},
e pede para calcular \langle u,v\rangle com u=(-3,4) e v=(5,-2). O conteúdo é produto interno ponderado.

Passo 2

Lembre que produto interno é bilinear e simétrico. Aqui a fórmula específica é
\langle u,v\rangle = 2\,u_x\,v_x + 3\,u_y\,v_y,
onde u_x,u_y são as componentes de u e v_x,v_y são as de v.

Passo 3

Identificamos as componentes: u_x=-3, u_y=4, v_x=5, v_y=-2. Substituindo,

Passo 4

2\cdot(-3)\cdot5 = -30,\quad 3\cdot4\cdot(-2) = -24,
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\langle u,v\rangle = -30 + (-24) = -54.

Resposta

-54

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