Questảo 1 (10 pontos)
Seja V=\mathbb{R}^{3}. Determinar o subespaço gerado pelo vetor v_{1}=(1,0,3)

Passo 1

O enunciado pede o subespaço de V=\mathbb{R}^{3} gerado pelo vetor v_{1}=(1,0,3). O conteúdo envolve a definição de subespaço e o conceito de “span”, isto é, todas as combinações lineares de um dado conjunto de vetores.

Passo 2

Por definição, o subespaço gerado por um conjunto \{v_{1},\dots,v_{k}\} em \mathbb{R}^{n} é
\operatorname{span}\{v_{1},\dots,v_{k}\} =\{\alpha_{1}v_{1}+\cdots+\alpha_{k}v_{k}\mid \alpha_{i}\in\mathbb{R}\}.
No caso de um único vetor v_{1}, isso se reduz a todos os múltiplos escalares de v_{1}, ou seja, a reta que passa pela origem na direção de v_{1}.

Passo 3

Aplicando ao vetor v_{1}=(1,0,3), obtemos
\operatorname{span}\{v_{1}\} =\{\alpha\,(1,0,3)\mid \alpha\in\mathbb{R}\} =\{(\alpha,0,3\alpha)\mid \alpha\in\mathbb{R}\}.

Resposta

O subespaço gerado por v_{1} é
\{\,(\alpha,0,3\alpha)\mid \alpha\in\mathbb{R}\},
ou seja, a reta em \mathbb{R}^{3} definida por todos os múltiplos de (1,0,3).

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