( 8,0 pts.) Considere a reta dada por e o ponto P de coordenadas P(1,0,2). Determine uma equação geral para o plano determinado por P e r.
Passo 1
Temos a reta
r: x=1+t, y=2+2t, z=-1+3t
e o ponto P(1,0,2). Queremos a equação geral do plano que contém P e toda a reta r. Vamos usar geometria vetorial: extrair o vetor diretor de r, obter um vetor que liga um ponto em r a P, calcular o produto vetorial para achar a normal do plano e, por fim, montar a equação ncdotl((x,y,z)-Pr)=0.
Passo 2
Escolhemos o ponto A em r para t=0, logo
A(1,2,-1)
O vetor diretor de r é
v = (1,2,3)
Passo 3
Calculamos o vetor que vai de A até P:
AP = P - A = (1,0,2) - (1,2,-1) = (0,-2,3)
Passo 4
A normal n do plano é o produto vetorial
n = vtimesAP = det i & j & k 1 & 2 & 3 0 & -2 & 3 = (12,,-3,,-2)