( 8,0 pts.) Considere a reta r dada por r:lx=1+t y=2+2 t z=-1+3 t e o ponto P de coordenadas P(1,0,2). Determine uma equação geral para o plano determinado por P e r.

Passo 1

Temos a reta
r: x=1+t, y=2+2t, z=-1+3t
e o ponto P(1,0,2). Queremos a equação geral do plano que contém P e toda a reta r. Vamos usar geometria vetorial: extrair o vetor diretor de r, obter um vetor que liga um ponto em r a P, calcular o produto vetorial para achar a normal do plano e, por fim, montar a equação ncdotl((x,y,z)-Pr)=0.

Passo 2

Escolhemos o ponto A em r para t=0, logo
A(1,2,-1)
O vetor diretor de r é
v = (1,2,3)

Passo 3

Calculamos o vetor que vai de A até P:
AP = P - A = (1,0,2) - (1,2,-1) = (0,-2,3)

Passo 4

A normal n do plano é o produto vetorial
n = vtimesAP = det i & j & k 1 & 2 & 3 0 & -2 & 3 = (12,,-3,,-2)

Passo 5

A equação do plano usando ncdotl((x,y,z)-Pr)=0
12(x-1)-3(y-0)-2(z-2)=0
que simplifica para
12x - 3y - 2z - 8 = 0

Resposta

A equação geral do plano é
12x - 3y - 2z - 8 = 0

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