( 9,0 pts.) Considere as retas e definidas por Determine uma equação geral para o plano r2:lx=3-2 t y=1+t z=-1+4 t. Determine uma equação geral para o plano determinado por r1 e r2.
Passo 1
O enunciado nos dá duas retas em forma paramétrica:
e
.
Pede-se: (a) escrever uma “equação geral” para (isto é, em forma cartesiana, como interseção de dois planos) e (b) escrever uma equação geral para o plano determinado por e . Para isso vamos usar:
Para (a) eliminação do parâmetro .
Para (b) verificar se há plano que contenha simultaneamente ambas as retas (duas retas só determinam um plano se forem coplanares, isto é, ou paralelas ou concorrentes).
Passo 2
Eliminamos o parâmetro s em r2. Da segunda equação obtemos
s = y - 1
Substituindo em x=3-2s e em z=-1+4s, temos
x = 3 - 2(y-1)Longrightarrow x + 2y - 5 = 0,
z = -1 + 4(y-1)Longrightarrow z - 4y + 5 = 0
Logo, a forma cartesiana de r2 é
x + 2y - 5 = 0, z - 4y + 5 = 0
Passo 3
Para que exista um plano contendo as duas retas, elas devem ser coplanares. Primeiro vemos se se intersectam: buscamos t,s tais que
4t = 3-2s, -3+2t = 1+s, 1+t = -1+4s
Das duas primeiras equações obtém-se t=tfrac118, s=-tfrac54, mas isso não satisfaz a terceira. Concluímos que r1 e r2 são retas reversas (skew), isto é, não se intersectam nem são paralelas.
Passo 4
Duas retas skew não podem pertencer a um mesmo plano. Logo não existe equação geral de um plano que contenha simultaneamente r1 e r2.
Resposta
(a) A reta
(b) Não existe plano que contenha ambas as retas, pois são skew.