4 (2 pts.) Mostre, justificando cada afirmação, que a aplicação linear
é um isomorfismo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a aplicação linear
é um isomorfismo. Estamos em espaços vetoriais de mesma dimensão finita, logo basta provar que é injetiva (ou alternativamente que é sobrejetiva).
Passo 2
Para ver que é linear, note que cada componente de é combinação linear de . Em particular, para quaisquer , e valem
e
Passo 3
Vamos calcular o núcleo de
então
Das duas últimas equações tiramos . Substituindo em dá
e assim , . Logo
Passo 4
Como ker T=0, a aplicação T é injetiva. Em espaços vetoriais de dimensão finita iguais (dimR^3=3), qualquer aplicação linear injetiva é também sobrejetiva. Portanto T é bijetiva e, consequentemente, um isomorfismo de R^3 em R^3.