4 (2 pts.) Mostre, justificando cada afirmação, que a aplicação linear
T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x+y+z, x-y, x-z)
é um isomorfismo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a aplicação linear
Tcolon R^3toR^3, T(x,y,z)=(x+y+z,;x-y,;x-z)
é um isomorfismo. Estamos em espaços vetoriais de mesma dimensão finita, logo basta provar que T é injetiva (ou alternativamente que é sobrejetiva).

Passo 2

Para ver que T é linear, note que cada componente de T(x,y,z) é combinação linear de x,y,z. Em particular, para quaisquer (x1,y1,z1), (x2,y2,z2) e lambdainR valem
Tl((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)r) =T(x1+x2,y1+y2,z1+z2)
=l((x1+x2)+(y1+y2)+(z1+z2),dotsr) =T(x1,y1,z1)+T(x2,y2,z2)
e
Tl(lambda(x1,y1,z1)r) =T(lambda x1,lambda y1,lambda z1) =lambda,T(x1,y1,z1)

Passo 3

Vamos calcular o núcleo de
então
Das duas últimas equações tiramos . Substituindo em
e assim , . Logo

Passo 4

Como ker T=0, a aplicação T é injetiva. Em espaços vetoriais de dimensão finita iguais ( dimR^3=3), qualquer aplicação linear injetiva é também sobrejetiva. Portanto T é bijetiva e, consequentemente, um isomorfismo de R^3 em R^3.

Resposta

A aplicação T é um isomorfismo.

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