Seja com bases e .
Determine a matriz mudança de base de para .
Passo 1
Beleza, vamos começar! A gente tem um espaço vetorial e duas bases para ele: a base formada pelos vetores , e , e a base que é a base canônica, ou seja, , e . Nosso objetivo aqui é descobrir a matriz de mudança de base de para . Isso significa que queremos uma matriz que, quando multiplicada por um vetor cujas coordenadas estão na base , nos dê as coordenadas desse mesmo vetor na base .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. Basicamente, ela serve para converter as coordenadas de um vetor de uma base para outra. No nosso caso, queremos passar da base para a base .
Como a base é a base canônica, os vetores de já estão escritos em termos dos vetores da base . Ou seja, os vetores de são as colunas da matriz que representa na base .
Então, vamos montar a matriz cujas colunas são exatamente os vetores da base :
Passo 3
Agora, para encontrar a matriz de mudança de base de B para C , precisamos encontrar a matriz inversa da matriz M que acabamos de construir. Essa matriz inversa vai nos permitir fazer a conversão das coordenadas da base B para a base C .