Seja U=R^3 com bases B=(1,2,0),(1,3,2),(0,1,3) e C=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).
Determine a matriz mudança de base de B para C.

Passo 1

Beleza, vamos começar! A gente tem um espaço vetorial U = R^3 e duas bases para ele: a base B formada pelos vetores (1,2,0) , (1,3,2) e (0,1,3) , e a base C que é a base canônica, ou seja, (1,0,0) , (0,1,0) e (0,0,1) . Nosso objetivo aqui é descobrir a matriz de mudança de base de B para C . Isso significa que queremos uma matriz que, quando multiplicada por um vetor cujas coordenadas estão na base B , nos dê as coordenadas desse mesmo vetor na base C .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. Basicamente, ela serve para converter as coordenadas de um vetor de uma base para outra. No nosso caso, queremos passar da base B para a base C .
Como a base C é a base canônica, os vetores de B já estão escritos em termos dos vetores da base C . Ou seja, os vetores de B são as colunas da matriz que representa B na base C .
Então, vamos montar a matriz cujas colunas são exatamente os vetores da base B :
M = 1 & 1 & 0 2 & 3 & 1 0 & 2 & 3

Passo 3

Agora, para encontrar a matriz de mudança de base de B para C , precisamos encontrar a matriz inversa da matriz M que acabamos de construir. Essa matriz inversa vai nos permitir fazer a conversão das coordenadas da base B para a base C .
Vamos calcular M^-1 :
Primeiro, encontramos o determinante de M :
det(M) = 1(3 cdot 3 - 1 cdot 2) - 1(2 cdot 3 - 1 cdot 0) + 0(2 cdot 2 - 3 cdot 0) = 1(9 - 2) - 1(6 - 0) + 0 = 7 - 6 + 0 = 1
Como o determinante é 1, sabemos que a matriz M é invertível e sua inversa é única.
Em seguida, calculamos a matriz dos cofatores, a matriz adjunta e, finalmente, a inversa M^-1 :
M^-1 = 3 & -1 & 1 -2 & 1 & 0 2 & -1 & 0

Resposta

A matriz de mudança de base de B para C é:
M^-1 = 3 & -1 & 1 -2 & 1 & 0 2 & -1 & 0

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