2 ( 3 , 0 pts.) Determine a equação cartesiana do plano pi descrito nos casos abaixo.
pi : contem a reta r de equação r:lx=-1+2 t y=2+t z=3-t t in R e é paralelo ao vetor [-2,1,3]

Passo 1

O enunciado pede a equação cartesiana do plano
e é paralelo ao vetor ([-2,1,3]].
Conteúdo: saber extrair o vetor diretor da reta, usar produto vetorial para obter o vetor normal ao plano e, por fim, montar a equação normal do plano.

Passo 2

Identificamos o vetor diretor de r e o vetor paralelo dado:
vec vr = (2,1,-1), vec u = (-2,1,3)

Passo 3

O vetor normal vec n ao plano é perpendicular a vec vr e a vec u, logo podemos usar o produto vetorial:
vec n = vec vr times vec u = i&j&k 2&1&-1 -2&1&3 =(1cdot3-(-1)cdot1),i-l(2cdot3-(-1)cdot(-2)r),j+(2cdot1-1cdot(-2)),k
Fazendo as contas:
vec n = (3+1,,-(6-2),,2+2) = (4,-4,4),
que simplifica para
vec n = (1,-1,1)

Passo 4

Escolhemos um ponto da reta r, por exemplo em t=0:
P0=(-1,,2,,3)
A forma geral da equação do plano usando normal é
vec ncdotl[(x,y,z)-P0r]=0
Substituindo vec n=(1,-1,1) e P0:
(1,-1,1)cdotl(x+1,;y-2,;z-3r)=0 Longrightarrow (x+1)-(y-2)+(z-3)=0
Isso dá
x - y + z +1+2-3 = 0 Longrightarrow x - y + z = 0

Resposta

A equação cartesiana do plano pi é
boxedx - y + z = 0

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