(3,0 pts) Determine a equação do plano osculador da curva
alpha(t)=(sen 3 t, 4 t, cos 3 t)
no ponto A=alpha(pi4).

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a curva
alpha(t) = (sin 3t,;4t,;cos 3t)
e queremos o plano osculador em A = alphal(tfracpi4r).
Conteúdo: o plano osculador é o plano que contém o vetor tangente T e o vetor normal principal N, isto é, é o plano com normal dado pelo vetor binormal
B(t) propto alpha'(t)timesalpha''(t)

Passo 2

Calculamos as derivadas primeira e segunda de alpha:
alpha'(t) = l(3cos 3t,;4,;-3sin 3tr),
alpha''(t) = l(-9sin 3t,;0,;-9cos 3tr)

Passo 3

Avaliamo-las em t0 = tfracpi4. Como
sin(3pi/4)=tfracraiz22 e cos(3pi/4)=-tfracraiz22, temos
alpha'l(tfracpi4r) = l(3costfrac3pi4,;4,;-3sintfrac3pi4r) = l(-tfrac3raiz22,;4,;-tfrac3raiz22r),
alpha''l(tfracpi4r) = l(-9sintfrac3pi4,;0,;-9costfrac3pi4r) = l(-tfrac9raiz22,;0,;tfrac9raiz22r)

Passo 4

O vetor binormal (não normalizado) é
B = alpha'l(tfracpi4r)timesalpha''l(tfracpi4r)
Calculando o produto vetorial, obtemos
B = l(18raiz2,;27,;18raiz2r) =9l(2raiz2,;3,;2raiz2r)

Passo 5

A equação do plano com normal B=(2raiz2,3,2raiz2) passando por
A = alphal(tfracpi4r) = l(sintfrac3pi4,;pi,;costfrac3pi4r) = l(tfracraiz22,;pi,;-tfracraiz22r)
é
2raiz2,(x-tfracraiz22) +3,(y-pi) +2raiz2,(z+tfracraiz22) =0
Simplificando os termos constantes (note que 2raiz2cdottfracraiz22=2), chega-se a
2raiz2,x +3y +2raiz2,z -3pi = 0

Resposta

A equação do plano osculador é
2raiz2,x ;+;3y;+;2raiz2,z;-;3pi;=;0

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