(2 pts) Utilize qualquer método para determinar se a série é convergente ou divergente
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n!}{4 \cdot 7 \cdot 10 \cdots(3 n+1)}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2\,n!}{4\cdot7\cdot10\cdots(3n+1)}
é convergente ou divergente.
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas, e vamos usar o Critério da Razão, já que o termo geral envolve fatoriais e produto de termos lineares.

Passo 2

Seja
a_n = \frac{2\,n!}{4\cdot7\cdot10\cdots(3n+1)}.
Então o termo seguinte é
a_{n+1} = \frac{2\,(n+1)!}{4\cdot7\cdot10\cdots(3n+1)\,(3(n+1)+1)} = \frac{2\,(n+1)\,n!}{\bigl(4\cdot7\cdot\cdots(3n+1)\bigr)\,(3n+4)}.

Passo 3

Aplicando o Critério da Razão, calculamos
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\displaystyle\frac{2\,(n+1)\,n!}{\bigl(4\cdot7\cdot\cdots(3n+1)\bigr)\,(3n+4)}} {\displaystyle\frac{2\,n!}{4\cdot7\cdot\cdots(3n+1)}} = \frac{n+1}{3n+4}.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{3n+4} = \frac{1}{3}.

Passo 4

Como o limite da razão é
\displaystyle\frac{1}{3}<1,
o Critério da Razão garante que a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série é convergente.

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