Questão 2 (2 pontos)
Determine duas soluções distintas em \mathbb{N} para \varphi(m)=12.

Passo 1

O enunciado pede números naturais m tais que \varphi(m)=12. O conteúdo aqui é a função totiente de Euler. Para resolver, vamos usar que, para p primo, \varphi(p)=p-1, e que, para produto de dois primos distintos p e q, \varphi(pq)=(p-1)(q-1).

Passo 2

Caso m primo. Se m=p e \varphi(p)=p-1, então
p-1 = 12,
logo p=13. Assim m=13 satisfaz \varphi(m)=12.

Passo 3

Caso m=pq com p\neq q. Aqui
\varphi(pq) = (p-1)(q-1) = 12.
Procuramos pares de inteiros positivos cujo produto seja 12 e que, ao somarmos 1, dêem primos. O par (p-1,q-1)=(2,6) leva a p=3 e q=7, ambos primos. Então
m = 3\cdot 7 = 21,
e de fato \varphi(21)=2\cdot6=12.

Resposta

Duas soluções distintas são m=13 e m=21.

Exercícios relacionados