Resolva as integrais duplas dadas a seguir:
\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{y^{2}} \cos \left(\frac{x}{y}\right) d x d y

Passo 1

O enunciado quer calcular a integral dupla
\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{y^{2}}\cos\!\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr)\,dx\,dy.
O conteúdo principal é integração iterada: primeiro a integral interna em x, depois a externa em y. Vamos usar substituição na interna e depois integração por partes na externa.

Passo 2

Calcular a integral interna
\int_{0}^{y^{2}}\cos\!\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr)\,dx.
Fazemos a troca de variável t=\tfrac{x}{y}, então dx=y\,dt. Quando x=0, t=0; quando x=y^{2}, t=y. Logo,
\int_{0}^{y^{2}}\cos\!\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr)\,dx = y \int_{0}^{y}\cos(t)\,dt.
E essa integral é
y\int_{0}^{y}\cos(t)\,dt = y\,\sin(y).

Passo 3

Substituindo esse resultado na integral externa, obtemos
\int_{0}^{\pi}y\,\sin(y)\,dy.
Agora o problema se reduz a calcular essa única integral em y.

Passo 4

Para
\int_{0}^{\pi}y\,\sin(y)\,dy
usamos integração por partes, escolhendo
u=y,\quad dv=\sin(y)\,dy
du=dy,\quad v=-\cos(y).
Assim,
\int_{0}^{\pi}y\,\sin(y)\,dy = \Bigl[-y\cos(y)\Bigr]_{0}^{\pi} + \int_{0}^{\pi}\cos(y)\,dy.

Passo 5

Calculando cada parte:
\Bigl[-y\cos(y)\Bigr]_{0}^{\pi} = -\pi\cos(\pi)-\bigl(0\cdot\cos(0)\bigr) = \pi,
\int_{0}^{\pi}\cos(y)\,dy = \sin(y)\Big|_{0}^{\pi} = 0.
Somando, o valor da integral é \pi+0=\pi.

Resposta

\pi

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