Resolva as integrais duplas dadas a seguir:
\int_{0}^{\ln (2)} \int_{0}^{y} x y^{5} e^{x^{2} y^{2}} d x d y

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral dupla
\int_{0}^{\ln(2)} \!\!\int_{0}^{y} x\,y^{5}\,e^{x^{2}y^{2}}\;dx\;dy.
O conteúdo principal aqui é integração iterada e uso de substituição simples para resolver a integral em x primeiro.

Passo 2

Vamos calcular a integral interna
\int_{0}^{y} x\,y^{5}\,e^{x^{2}y^{2}}\;dx.
Como y é constante em relação a x, puxamos y^{5} para fora e usamos a substituição
t = x^{2}y^{2}, \quad dt = 2\,x\,y^{2}\,dx \;\Longrightarrow\; x\,dx = \frac{dt}{2\,y^{2}}.
Quando x=0, t=0; quando x=y, t=y^4. Logo
\int_{0}^{y} x\,e^{x^{2}y^{2}}\,dx = \int_{0}^{y^4} e^{t}\,\frac{dt}{2\,y^{2}} = \frac{1}{2\,y^{2}}\Bigl(e^{y^{4}}-1\Bigr).
Multiplicando por y^{5}
\int_{0}^{y} x\,y^{5}\,e^{x^{2}y^{2}}\,dx = y^{5}\,\frac{1}{2\,y^{2}}\bigl(e^{y^{4}}-1\bigr) = \frac{y^{3}}{2}\bigl(e^{y^{4}}-1\bigr).

Passo 3

Substituindo de volta na integral em y, obtemos
\int_{0}^{\ln(2)} \frac{y^{3}}{2}\bigl(e^{y^{4}}-1\bigr)\,dy = \frac{1}{2}\Bigl[ \int_{0}^{\ln(2)} y^{3}e^{y^{4}}\,dy \;-\; \int_{0}^{\ln(2)} y^{3}\,dy \Bigr].

Passo 4

  1. Para \displaystyle \int y^{3}e^{y^{4}}\,dy, use u=y^{4}, du=4y^{3}dy, logo
\int y^{3}e^{y^{4}}\,dy = \frac{1}{4}e^{y^{4}} + C.
  1. Para \displaystyle \int y^{3}\,dy, temos
\int y^{3}\,dy = \frac{y^{4}}{4} + C.
Avaliamo-las de 0 a \ln(2):
\int_{0}^{\ln(2)} y^{3}e^{y^{4}}\,dy = \frac{1}{4}\bigl(e^{(\ln 2)^{4}}-1\bigr), \quad \int_{0}^{\ln(2)} y^{3}\,dy = \frac{(\ln 2)^{4}}{4}.
Logo a integral total vale
\frac{1}{2}\Bigl[ \frac{1}{4}\bigl(e^{(\ln 2)^{4}}-1\bigr) - \frac{(\ln 2)^{4}}{4} \Bigr] = \frac{1}{8}\Bigl(e^{(\ln 2)^{4}} -1 - (\ln 2)^{4}\Bigr).

Resposta

\frac{1}{8}\Bigl(e^{(\ln 2)^{4}} -1 - (\ln 2)^{4}\Bigr).

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