Questão 02
Analise a situação abaixo:
( \mathrm{d}^{\wedge} 2 \mathrm{z} )/dw^2 +3 \mathrm{z}=-\mathrm{dz} / \mathrm{dw}
Considerando a expressão dada acima, avalie a seguintes asserções e a relação proposta entre elas.
I. A expressão representada caracteriza-se por uma equação diferencial de segunda ordem homogênea.
PORQUE
II. O expoente da maior derivada presente na expressão é 2 e, além disso, podemos igualar todos os termos a zero.
A respeito destas asserções, assinale a opção correta.
A asserção I é uma proposição falsa e, a ll é uma proposição verdadeira.
A asserção I é uma proposição verdadeira e, a ll é uma proposição falsa.
As assercîgoli \square es I e II sal \square o proposicìsol̀ \square es verdadeiras, e a II el \square uma justificativa da I.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I.

  1. As asserções I e II são proposições falsas.

Passo 1

O enunciado dá a equação
\frac{d^2 z}{dw^2} + 3z = -\frac{dz}{dw}
e pede para analisar as seguintes asserções sobre classificação de equações diferenciais:
I. A expressão caracteriza-se por uma equação diferencial de segunda ordem homogênea.
II. O expoente da maior derivada presente na expressão é 2 e, além disso, podemos igualar todos os termos a zero.

Passo 2

Reescrevemos a equação em forma padrão, ou seja, com todos os termos do mesmo lado:
\frac{d^2 z}{dw^2} + \frac{dz}{dw} + 3z = 0.

Passo 3

Identificamos a ordem da equação: o maior grau de derivada que aparece é a derivada de segunda ordem \frac{d^2 z}{dw^2}, portanto é uma equação de segunda ordem.

Passo 4

Verificamos a homogeneidade: a equação
\frac{d^2 z}{dw^2} + \frac{dz}{dw} + 3z = 0
não contém termo independente de z nem fontes externas, logo é homogênea.

Passo 5

Conclusão sobre a asserção I: é verdadeira, pois a equação é linear, de segunda ordem e homogênea (não há termo não nulo isolado).

Passo 6

Verificação da asserção II: o expoente da maior derivada é realmente 2 e, ao reorganizar a equação, todos os termos ficam igualados a zero. Portanto, II também é verdadeira.

Passo 7

Relação entre I e II: a asserção II explica exatamente por que a equação é de segunda ordem (grau 2) e por que é homogênea (todos os termos igualados a zero), de modo que II justifica I.

Resposta

As asserções I e II são verdadeiras, e II é uma justificativa da I.

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