Resolva os seguintes Problemas de valor inicial:
y^prime prime+y=0, y^prime(0)=0, y(pi2)=2

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial (na verdade de contorno) para a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y = 0,
sujeita às condições
y'(0)=0, y!l(tfracpi2r)=2
Vamos encontrar a solução geral da EDO e depois ajustar as constantes usando as condições dadas.

Passo 2

A equação característica de
y'' + y = 0
é
r^2 + 1 = 0 Longrightarrow r = pm i
Portanto, a solução geral é
y(x) = Acos x + Bsin x,
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 3

Calculamos a derivada:
y'(x) = -Asin x + Bcos x
Impondo y'(0)=0, obtemos
y'(0) = -Acdot 0 + Bcdot 1 = B = 0
Logo a solução reduz-se a
y(x) = Acos x

Passo 4

Agora usamos a condição yl(tfracpi2r)=2:
y!l(tfracpi2r) = Acos!l(tfracpi2r) = Acdot 0 = 0,
que deveria ser igual a 2. Isso leva à contradição
0 = 2

Resposta

Não existe solução que satisfaça simultaneamente y''+y=0, y'(0)=0 e yl(tfracpi2r)=2.

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