(2,0 pts.). Uma fábrica de sensores eletrônicos produz cerca de 500 unidades por dia.
setor de qualidade registrou que a ocorrência de defeitos é rara, distribuída de forma aparentemente aleatória ao longo do processo. Em dias de produção intensificada há relatos de picos de 6 ou 7 defeitos, mas na maior parte dos dias ocorrem entre 0 e 2 defeitos. A taxa média histórica estabilizou em cerca de 2 defeitos por dia, variando entre 1,7 e 2,3 conforme o lote.
Com essas informações responda:
a) Identifique e justifique a distribuição de probabilidade mais adequada para modelar o número de defeitos diários, explicando também por que outra(s) distribuição(öes) näo se aplicam bem neste caso.
b) Calcule a probabilidade de ocorrer exatamente 3 defeitos em um dia.
c) Calcule a probabilidade de ocorrer no máximo 1 defeito em um dia.
d) Calcule a probabilidade de ocorrer mais de 3 defeitos em um dia.
Com essas informações responda:
a) Identifique e justifique a distribuição de probabilidade mais adequada para modelar o número de defeitos diários, explicando também por que outra(s) distribuição(öes) näo se aplicam bem neste caso.
b) Calcule a probabilidade de ocorrer exatamente 3 defeitos em um dia.
c) Calcule a probabilidade de ocorrer no máximo 1 defeito em um dia.
d) Calcule a probabilidade de ocorrer mais de 3 defeitos em um dia.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas (vou listar sem resolver ainda):
- (a) Identificar e justificar qual distribuição de probabilidade modela o número diário de defeitos.
- (b) Calcular a probabilidade de ocorrer exatamente 3 defeitos em um dia.
- (c) Calcular a probabilidade de ocorrer no máximo 1 defeito em um dia.
- (d) Calcular a probabilidade de ocorrer mais de 3 defeitos em um dia.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- Produção: cerca de
unidades por dia. - Ocorrência de defeitos é rara e aparentemente aleatória ao longo do processo.
- Em dias intensificados ocorrem picos como
ou defeitos, mas na maioria dos dias ocorrem entre e . - Taxa média histórica estabilizada: cerca de
defeitos por dia (varia entre e por lote).
Passo 2
Escolha da distribuição: como decidir?
- Quando temos eventos raros, independentes, ocorrendo ao acaso em um intervalo fixo (aqui: um dia) e sabemos a taxa média de ocorrência por intervalo (aqui: média
defeitos/dia), a distribuição clássica é a distribuição de Poisson. - Regra prática: Poisson é boa se os eventos são raros, o número potencial de “tentativas” é grande e a probabilidade por tentativa é pequena. No nosso caso pode-se pensar em
peças com probabilidade pequena de defeito por peça; a média histórica encaixa bem com o cenário Poisson.
Por que não usar outras distribuições?
- Binomial
: teoricamente aplicável se quisermos modelar defeitos por peça com e . Mas trabalhar com é pesado; além disso, quando é grande e é pequeno com moderado, o binomial é bem aproximado pela Poisson . Então Poisson é a modelagem prática e apropriada. - Normal: não é adequada aqui porque a média é pequena (
); a normal é má aproximação para contagens pequenas e assimétricas. - Outras (geométrica, exponencial, binomial negativa): não descrevem o número de ocorrências em um intervalo fixo com taxa média conhecida da mesma forma adequada que Poisson; por exemplo, geométrica modela número de tentativas até o primeiro sucesso, não o número total por dia.
Conclusão: usar Poisson com parâmetro
(média de
defeitos/dia).
Passo 3
Fórmula e propriedades da Poisson (aulas rápidas e úteis para a prova)
- Seja
o número de defeitos por dia. Para a função massa de probabilidade é
onde
é a taxa média de ocorrências por intervalo (aqui
).
- Propriedades importantes:
- Esperança:
. - Variância:
.
- Esperança:
- Interpretação de cada símbolo:
-
é a base do logaritmo natural (aprox. ). -
é fatorial de (por ex. ). -
é elevado à -ésima potência.
-
Para nossos cálculos usaremos
. Um valor útil para as contas:
(vou calcular e usar aproximações decimais com 4 casas para facilitar conferência).
Passo 4
Cálculo de
(exatamente 3 defeitos)
- Aplicando a fórmula da Poisson com
e :
- Calcule passo a passo:
-
. -
. - Logo
. - Precisamos de
.
-
- Valor numérico (usar
):
- Arredondando para quatro casas decimais:
.
Passo 5
Cálculo de
(no máximo 1 defeito)
- Por definição,
- Calcule cada termo usando Poisson:
-
. -
.
-
- Usando
: -
. -
.
-
- Soma:
- Arredondando para quatro casas decimais:
.
Passo 6
Cálculo de
(mais de 3 defeitos)
- É mais prático usar o complementar:
- Então calcule
. - Já temos
, , . Falta : -
. - Logo
.
-
- Somando:
-
- Então
- Arredondando para quatro casas decimais:
.
Passo 7
Resumo prático e dica de prova
- Use sempre o parâmetro
dado (aqui ). Se o enunciado desse outra média, substituir. - Se quiser checar sensibilidade, pode recalcular com
ou (valores fornecidos) para ver como as probabilidades mudam; isso é útil em questões que pedem intervalos de confiança da probabilidade. - Para cálculos sem calculadora, saber
e lembrar as relações entre pode permitir aproximações rápidas.
Resposta
a) Distribuição de Poisson com
. Justificativa: eventos raros e independentes por dia com taxa média conhecida; binomial
com
é possível teoricamente mas é bem aproximado por Poisson e mais prático; normal não é adequada pela média pequena.
b)
c)
d)
b)
c)
d)