(2,0 pts.). Uma fábrica de sensores eletrônicos produz cerca de 500 unidades por dia. O setor de qualidade registrou que a ocorrência de defeitos é rara, distribuída de forma aparentemente aleatória ao longo do processo. Em dias de produção intensificada há relatos de picos de 6 ou 7 defeitos, mas na maior parte dos dias ocorrem entre 0 e 2 defeitos. A taxa média histórica estabilizou em cerca de 2 defeitos por dia, variando entre 1,7 e 2,3 conforme o lote.
Com essas informações responda:
a) Identifique e justifique a distribuição de probabilidade mais adequada para modelar o número de defeitos diários, explicando também por que outra(s) distribuição(öes) näo se aplicam bem neste caso.
b) Calcule a probabilidade de ocorrer exatamente 3 defeitos em um dia.
c) Calcule a probabilidade de ocorrer no máximo 1 defeito em um dia.
d) Calcule a probabilidade de ocorrer mais de 3 defeitos em um dia.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas (vou listar sem resolver ainda):
  • (a) Identificar e justificar qual distribuição de probabilidade modela o número diário de defeitos.
  • (b) Calcular a probabilidade de ocorrer exatamente 3 defeitos em um dia.
  • (c) Calcular a probabilidade de ocorrer no máximo 1 defeito em um dia.
  • (d) Calcular a probabilidade de ocorrer mais de 3 defeitos em um dia.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Produção: cerca de 500 unidades por dia.
  • Ocorrência de defeitos é rara e aparentemente aleatória ao longo do processo.
  • Em dias intensificados ocorrem picos como 6 ou 7 defeitos, mas na maioria dos dias ocorrem entre 0 e 2.
  • Taxa média histórica estabilizada: cerca de 2 defeitos por dia (varia entre 1,7 e 2,3 por lote).

Passo 2

Escolha da distribuição: como decidir?
  • Quando temos eventos raros, independentes, ocorrendo ao acaso em um intervalo fixo (aqui: um dia) e sabemos a taxa média de ocorrência por intervalo (aqui: média \approx 2 defeitos/dia), a distribuição clássica é a distribuição de Poisson.
  • Regra prática: Poisson é boa se os eventos são raros, o número potencial de “tentativas” é grande e a probabilidade por tentativa é pequena. No nosso caso pode-se pensar em n=500 peças com probabilidade pequena p de defeito por peça; a média histórica \lambda = np \approx 2 encaixa bem com o cenário Poisson.
Por que não usar outras distribuições?
  • Binomial B(n,p): teoricamente aplicável se quisermos modelar defeitos por peça com n=500 e p\approx 2/500. Mas trabalhar com B(500,p) é pesado; além disso, quando n é grande e p é pequeno com np=\lambda moderado, o binomial é bem aproximado pela Poisson Pois(\lambda). Então Poisson é a modelagem prática e apropriada.
  • Normal: não é adequada aqui porque a média é pequena ( \lambda\approx 2); a normal é má aproximação para contagens pequenas e assimétricas.
  • Outras (geométrica, exponencial, binomial negativa): não descrevem o número de ocorrências em um intervalo fixo com taxa média conhecida da mesma forma adequada que Poisson; por exemplo, geométrica modela número de tentativas até o primeiro sucesso, não o número total por dia.
Conclusão: usar Poisson com parâmetro \lambda=2 (média de 2 defeitos/dia).

Passo 3

Fórmula e propriedades da Poisson (aulas rápidas e úteis para a prova)
  • Seja X o número de defeitos por dia. Para X\sim\text{Pois}(\lambda) a função massa de probabilidade é
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},\qquad k=0,1,2,\dots
onde \lambda é a taxa média de ocorrências por intervalo (aqui \lambda=2).
  • Propriedades importantes:
    • Esperança: \mathbb{E}[X]=\lambda.
    • Variância: \mathrm{Var}(X)=\lambda.
  • Interpretação de cada símbolo:
    • e é a base do logaritmo natural (aprox. e\approx 2,71828\ldots).
    • k! é fatorial de k (por ex. 3! = 3\cdot2\cdot1 = 6).
    • \lambda^{k} é \lambda elevado à k-ésima potência.
Para nossos cálculos usaremos \lambda=2. Um valor útil para as contas: e^{-2} (vou calcular e usar aproximações decimais com 4 casas para facilitar conferência).

Passo 4

Cálculo de P(X=3) (exatamente 3 defeitos)
  • Aplicando a fórmula da Poisson com \lambda=2 e k=3:
P(X=3)=e^{-2}\frac{2^{3}}{3!}.
  • Calcule passo a passo:
    • 2^{3}=8.
    • 3!=6.
    • Logo \dfrac{2^{3}}{3!}=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}.
    • Precisamos de e^{-2}\cdot \dfrac{4}{3}.
  • Valor numérico (usar e^{-2}\approx 0,1353352832):
P(X=3)\approx 0,1353352832\cdot \frac{4}{3}\approx 0,1804470443.
  • Arredondando para quatro casas decimais: P(X=3)\approx 0,1804.

Passo 5

Cálculo de P(X\le 1) (no máximo 1 defeito)
  • Por definição,
P(X\le 1)=P(X=0)+P(X=1).
  • Calcule cada termo usando Poisson:
    • P(X=0)=e^{-2}\dfrac{2^{0}}{0!}=e^{-2}\cdot 1 = e^{-2}.
    • P(X=1)=e^{-2}\dfrac{2^{1}}{1!}=e^{-2}\cdot 2.
  • Usando e^{-2}\approx 0,1353352832:
    • P(X=0)\approx 0,1353352832.
    • P(X=1)\approx 0,2706705665.
  • Soma:
P(X\le 1)\approx 0,1353352832+0,2706705665=0,4060058497.
  • Arredondando para quatro casas decimais: P(X\le 1)\approx 0,4060.

Passo 6

Cálculo de P(X>3) (mais de 3 defeitos)
  • É mais prático usar o complementar:
P(X>3)=1-P(X\le 3).
  • Então calcule P(X\le 3)=P(0)+P(1)+P(2)+P(3).
  • Já temos P(0), P(1), P(3). Falta P(2):
    • P(X=2)=e^{-2}\dfrac{2^{2}}{2!}=e^{-2}\dfrac{4}{2}=e^{-2}\cdot 2.
    • Logo P(X=2)=P(X=1)\approx 0,2706705665.
  • Somando:
    • P(0)\approx 0,1353352832
    • P(1)\approx 0,2706705665
    • P(2)\approx 0,2706705665
    • P(3)\approx 0,1804470443
P(X\le 3)\approx 0,1353352832+0,2706705665+0,2706705665+0,1804470443=0,8571234605.
  • Então
P(X>3)=1-0,8571234605\approx 0,1428765395.
  • Arredondando para quatro casas decimais: P(X>3)\approx 0,1429.

Passo 7

Resumo prático e dica de prova
  • Use sempre o parâmetro \lambda dado (aqui \lambda=2). Se o enunciado desse outra média, substituir.
  • Se quiser checar sensibilidade, pode recalcular com \lambda=1,7 ou \lambda=2,3 (valores fornecidos) para ver como as probabilidades mudam; isso é útil em questões que pedem intervalos de confiança da probabilidade.
  • Para cálculos sem calculadora, saber e^{-2}\approx 0,1353 e lembrar as relações entre P(0),P(1),P(2) pode permitir aproximações rápidas.

Resposta

a) Distribuição de Poisson com \lambda=2. Justificativa: eventos raros e independentes por dia com taxa média conhecida; binomial B(500,p) com p\approx 2/500 é possível teoricamente mas é bem aproximado por Poisson e mais prático; normal não é adequada pela média pequena.
b) P(X=3)\approx 0,1804
c) P(X\le 1)\approx 0,4060
d) P(X>3)\approx 0,1429

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