(2.5 pts) A luz de uma fonte monocromática com comprimento de onda de 450 nm , incide oerpendicularmente em uma rede de difraçăo com 35000 ranhuras de 72 mm de largura. a) Determine os valores da dispersăo e resoluçầo para a segunda ordem. b) Considerando agora jue temos somente duas fendas, com abertura igual à da rede de difraçīo acima e distância ntre as fendas de 72 mm , qual a intensidade no máximo de segunda ordem?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e dá algumas informações. Vou listar claramente o que foi pedido e os dados fornecidos.
  • Perguntas:
    1. (parte a) Determinar a dispersão e a resolução para a segunda ordem.
    2. (parte b) Agora com apenas duas fendas (cada fenda com abertura igual à da rede acima) e distância entre as fendas de 72\\ \text{mm}, qual a intensidade no máximo de segunda ordem?
  • Dados fornecidos (vou interpretar a rede como tendo N=35000 ranhuras distribuídas ao longo de uma largura total de 72\\ \text{mm}; essa interpretação é a mais natural quando o enunciado diz “35000 ranhuras de 72 mm de largura”):
    • comprimento de onda: \lambda = 450\\ \text{nm}.
    • número de ranhuras: N = 35000.
    • largura total da rede: L = 72\\ \text{mm} = 0{,}072\\ \text{m}.
    • ordem pedida: m=2.
    • para a parte (b): duas fendas separadas por d_{\text{sep}} = 72\\ \text{mm} = 0{,}072\\ \text{m} e cada fenda com abertura igual à “abertura da rede acima” — aqui interpreto “abertura da rede” como a largura de uma ranhura (i.e., o período efetivo da rede a, que será calculado a partir de L e N).

Passo 2

Calcular o período (espaçamento entre ranhuras) da rede, que usaremos em várias fórmulas.
  • Se uma rede tem N ranhuras distribuídas numa largura total L, o espaçamento entre ranhuras (período) é
d=\frac{L}{N}.
  • Substituindo números:
d=\frac{0{,}072\\ \text{m}}{35000}=2{,}057142857\times10^{-6}\\ \text{m}.
  • Em notação mais curta: d \approx 2{,}057\times10^{-6}\\ \text{m}.
Explicação didática: d é a distância entre o centro de uma ranhura e a próxima; é a “constante de rede”. Em problemas de redes essa constante liga o ângulo de máxima difração com a condição de interferência.

Passo 3

Relembrar a equação fundamental da rede de difração (fórmula que relaciona ordem, comprimento de onda, período e ângulo).
  • A equação de máximos para uma rede é
m\lambda = d\sin\theta,
onde:
  • m é a ordem do máximo (aqui m=2),
  • \lambda é o comprimento de onda,
  • d é o espaçamento entre ranhuras,
  • \theta é o ângulo (medido a partir da normal) em que aparece o máximo de ordem m.
Didática: essa equação vem do fato de que a diferença de caminho entre luz difratada por ranhuras consecutivas deve ser um múltiplo inteiro de \lambda para haver interferência construtiva.

Passo 4

Calcular o ângulo \theta da segunda ordem usando a equação da rede.
  • Colocando \lambda=450\\ \text{nm}=450\times10^{-9}\\ \text{m} e d calculado:
\sin\theta=\frac{m\lambda}{d}=\frac{2\cdot 450\times10^{-9}}{2{,}057142857\times10^{-6}}.
  • Calculando numericamente:
\sin\theta \approx 0{,}437520,
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\theta=\arcsin(0{,}437520)\approx 25{,}95^\circ.
Comentário: esse ângulo será usado para calcular a cosseno em fórmulas de dispersão.

Passo 5

Definir e explicar o que é dispersão angular da rede e a fórmula usada.
  • A dispersão angular (frequentemente chamada apenas de “dispersão”) mede quanto o ângulo \theta muda quando muda o comprimento de onda \lambda. A definição matemática é
\frac{d\theta}{d\lambda}.
  • Diferenciando a equação m\lambda=d\sin\theta em relação a \lambda (tendo m e d constantes), obtemos:
m = d\cos\theta\,\frac{d\theta}{d\lambda}\quad\Rightarrow\quad \frac{d\theta}{d\lambda}=\frac{m}{d\cos\theta}.
  • Explicação: isso vem de derivar \sin\theta em relação a \lambda. A dispersão diz quão “separadas” ficam as cores no espaço angular quando a mudança de comprimento de onda é pequena.

Passo 6

Calcular numericamente a dispersão angular para a segunda ordem.
  • Usando \theta calculado e d:
\frac{d\theta}{d\lambda}=\frac{2}{d\cos\theta}.
  • Primeiro calculamos \cos\theta:
\cos\theta=\sqrt{1-\sin^2\theta}=\sqrt{1-(0{,}437520)^2}\approx 0{,}8992.
  • Agora
\frac{d\theta}{d\lambda}=\frac{2}{2{,}057142857\times10^{-6}\cdot 0{,}8992} \approx 1{,}0819\times10^{6}\\ \text{rad}\cdot\text{m}^{-1}.
  • Interpretações práticas:
    • Em radianos por nanómetro (mais intuitivo quando \lambda está em nm), multiplica-se por 10^{-9}:
    \frac{d\theta}{d\lambda}\approx 1{,}0819\times10^{-3}\\ \text{rad}\cdot\text{nm}^{-1}.
    • Em graus por nanómetro:
    \frac{d\theta}{d\lambda}\approx 1{,}0819\times10^{-3}\cdot\frac{180}{\pi}\approx 0{,}0620^\circ\cdot\text{nm}^{-1}.
Didática/Comentário: isso significa que uma variação de 1\\ \text{nm} no comprimento de onda desloca o máximo angularmente por cerca de 0{,}062^\circ na segunda ordem.

Passo 7

Definir e explicar o conceito de resolução (poder de resolução) de uma rede.
  • O poder de resolução R de uma rede é a medida de quão pequena diferença de comprimentos de onda a rede consegue distinguir. Uma fórmula clássica para uma rede iluminada por N ranhuras é
R=\frac{\lambda}{\Delta\lambda}=mN,
onde:
  • m é a ordem,
  • N é o número de ranhuras efetivamente iluminadas (aqui assumimos N=35000).
  • Explicação: a fórmula R=mN vem da análise da interferência de muitas fendas; mais fendas e ordens maiores aumentam o poder de resolução.

Passo 8

Calcular numericamente a resolução e a mínima diferença de comprimento de onda resolvível na segunda ordem.
  • Com m=2 e N=35000:
R=mN=2\cdot 35000 =70000.
  • A menor diferença de comprimento de onda que pode ser separada (aproximadamente) é
\Delta\lambda=\frac{\lambda}{R}=\frac{450\times10^{-9}}{70000}=6{,}4285714\times10^{-12}\\ \text{m}.
  • Em unidades mais amigáveis:
\Delta\lambda\approx 0{,}00643\\ \text{nm}=6{,}43\times10^{-3}\\ \text{nm}.
Interpretação: na segunda ordem essa rede, idealmente, consegue distinguir comprimentos de onda separados por cerca de 6{,}4\times10^{-3}\\ \text{nm}.

Passo 9

Passando para a parte (b): estabelecer o modelo físico para duas fendas com largura finita (envelope de difração de cada fenda + interferência entre elas).
  • Para duas fendas idênticas de largura a e separação d_{\text{sep}}, a intensidade angular total é dada por (se cada fenda sozinha, no centro, fornece intensidade I_0):
I(\theta)=4I_0\cos^2\!\Big(\frac{\pi d_{\text{sep}}\sin\theta}{\lambda}\Big)\,\Big(\frac{\sin\beta}{\beta}\Big)^2,
onde
\beta=\frac{\pi a\sin\theta}{\lambda}.
  • Explicação rápida:
    • O fator \cos^2(\cdot) é a parte de interferência entre as duas fendas (máximos de ordem inteira quando o argumento é múltiplo de \pi).
    • O fator (\sin\beta/\beta)^2 é o envelope de difração de uma fenda de largura a (single-slit), que modula a amplitude geral.
    • No centro ( \theta=0), \cos^2=1 e \sin\beta/\beta=1, portanto I(0)=4I_0.
Didática: a observação de máximos de interferência depende tanto da interferência entre fendas quanto da difração individual de cada fenda — o envelope pode suprimir alguns máximos se (\sin\beta/\beta)^2 for pequeno.

Passo 10

Definir os valores para a parte (b) e calcular o ângulo da segunda ordem para duas fendas.
  • Dados já interpretados:
    • separação entre fendas d_{\text{sep}}=0{,}072\\ \text{m}.
    • largura de cada fenda a igual à “abertura da rede”, que interpretamos como o período d da rede calculado antes:
    a=d=2{,}057142857\times10^{-6}\\ \text{m}.
  • Condição de máximos de interferência (ordem m) para duas fendas:
d_{\text{sep}}\sin\theta_m = m\lambda.
  • Para m=2:
\sin\theta_2=\frac{2\lambda}{d_{\text{sep}}}=\frac{2\cdot 450\times10^{-9}}{0{,}072}=1{,}25\times10^{-5}.
  • O ângulo é muito pequeno:
\theta_2\approx 1{,}25\times10^{-5}\\ \text{rad}\approx 0{,}000716^\circ.
Comentário: ângulo de máxima muito pequeno porque a separação entre fendas é grande comparada a \lambda.

Passo 11

Calcular o fator de envelope (\sin\beta/\beta)^2 na segunda ordem — isto determina quanto a difração de cada fenda atenua o máximo de interferência.
  • Primeiro calcular \beta:
\beta=\frac{\pi a\sin\theta_2}{\lambda}.
  • Substituindo números:
\beta=\pi\cdot\frac{2{,}057142857\times10^{-6}\cdot 1{,}25\times10^{-5}}{450\times10^{-9}}.
  • Calcule passo a passo:
    • a\sin\theta_2 = 2{,}057142857\times10^{-6}\times 1{,}25\times10^{-5} = 2{,}571428571\times10^{-11}.
    • Dividindo por \lambda=450\times10^{-9}=4{,}5\times10^{-7} 5{,}714285714\times10^{-5}.
    • Multiplicando por \pi:
\beta \approx \pi\cdot 5{,}714285714\times10^{-5}\approx 1{,}7951958\times10^{-4}.
  • Esse \beta é muito pequeno, então usamos a aproximação para pequeno argumento:
\frac{\sin\beta}{\beta}\approx 1-\frac{\beta^2}{6}.
  • Calcular \beta^2/6:
    • \beta^2\approx (1{,}7952\times10^{-4})^2\approx 3{,}222\times10^{-8}.
    • \beta^2/6\approx 5{,}37\times10^{-9}.
  • Portanto
\frac{\sin\beta}{\beta}\approx 1-5{,}37\times10^{-9}\approx 0{,}99999999463,
e elevando ao quadrado:
\Big(\frac{\sin\beta}{\beta}\Big)^2\approx 0{,}99999998926.
Interpretação: o envelope de difração praticamente não atenua o máximo de segunda ordem neste caso — o valor é praticamente 1 (ou seja, quase inteiro).

Passo 12

Determinar a intensidade no máximo de segunda ordem para as duas fendas.
  • A intensidade máxima de ordem m (quando a condição de interferência está satisfeita) é
I_m = 4I_0\cdot\Big(\frac{\sin\beta}{\beta}\Big)^2,
onde I_0 é a intensidade produzida por uma única fenda no centro.
  • Para \theta_2 calculado, temos
I_2 \approx 4I_0\cdot 0{,}99999998926 \approx 3{,}999999957\\ I_0.
  • Se quisermos comparar com o máximo central da combinação de duas fendas (que é I(0)=4I_0), a razão é
\frac{I_2}{I(0)}\approx 0{,}99999998926\approx 99{,}9999989\%.
Conclusão prática: o máximo de segunda ordem tem praticamente a mesma intensidade do máximo central; a diferença é insignificante (ordem de 10^{-8} relativa).

Resposta

a) Dispersão angular na segunda ordem \displaystyle \frac{d\theta}{d\lambda}\approx 1{,}0819\times10^{6}\\ \text{rad}\cdot\text{m}^{-1} (ou \displaystyle 1{,}0819\times10^{-3}\\ \text{rad}\cdot\text{nm}^{-1}, aproximadamente 0{,}0620^\circ\cdot\text{nm}^{-1}). Resolução R=mN=70000, logo \displaystyle \Delta\lambda_{\min}\approx 6{,}43\times10^{-3}\\ \text{nm}.
b) Intensidade do máximo de segunda ordem para as duas fendas: \displaystyle I_2\approx 0{,}99999998926\\ I(0) (isto é, cerca de 99{,}9999989\% do máximo central; praticamente igual ao máximo central).

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