(2.5 pts) A luz de uma fonte monocromática com comprimento de onda de 450 nm , incide oerpendicularmente em uma rede de difraçăo com 35000 ranhuras de 72 mm de largura. a) Determine os valores da dispersăo e resoluçầo para a segunda ordem. b) Considerando agora jue temos somente duas fendas, com abertura igual à da rede de difraçīo acima e distância ntre as fendas de 72 mm , qual a intensidade no máximo de segunda ordem?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e dá algumas informações. Vou listar claramente o que foi pedido e os dados fornecidos.
-
Perguntas:
- (parte a) Determinar a dispersão e a resolução para a segunda ordem.
- (parte b) Agora com apenas duas fendas (cada fenda com abertura igual à da rede acima) e distância entre as fendas de
, qual a intensidade no máximo de segunda ordem?
-
Dados fornecidos (vou interpretar a rede como tendo
ranhuras distribuídas ao longo de uma largura total de ; essa interpretação é a mais natural quando o enunciado diz “35000 ranhuras de 72 mm de largura”): - comprimento de onda:
. - número de ranhuras:
. - largura total da rede:
. - ordem pedida:
. - para a parte (b): duas fendas separadas por
e cada fenda com abertura igual à “abertura da rede acima” — aqui interpreto “abertura da rede” como a largura de uma ranhura (i.e., o período efetivo da rede , que será calculado a partir de e ).
- comprimento de onda:
Passo 2
Calcular o período (espaçamento entre ranhuras) da rede, que usaremos em várias fórmulas.
- Se uma rede tem
ranhuras distribuídas numa largura total , o espaçamento entre ranhuras (período) é
- Substituindo números:
- Em notação mais curta:
Explicação didática:
é a distância entre o centro de uma ranhura e a próxima; é a “constante de rede”. Em problemas de redes essa constante liga o ângulo de máxima difração com a condição de interferência.
Passo 3
Relembrar a equação fundamental da rede de difração (fórmula que relaciona ordem, comprimento de onda, período e ângulo).
- A equação de máximos para uma rede é
onde:
-
é a ordem do máximo (aqui ), -
é o comprimento de onda, -
é o espaçamento entre ranhuras, -
é o ângulo (medido a partir da normal) em que aparece o máximo de ordem .
Didática: essa equação vem do fato de que a diferença de caminho entre luz difratada por ranhuras consecutivas deve ser um múltiplo inteiro de
para haver interferência construtiva.
Passo 4
Calcular o ângulo
da segunda ordem usando a equação da rede.
- Colocando
e calculado:
- Calculando numericamente:
logo
Comentário: esse ângulo será usado para calcular a cosseno em fórmulas de dispersão.
Passo 5
Definir e explicar o que é dispersão angular da rede e a fórmula usada.
- A dispersão angular (frequentemente chamada apenas de “dispersão”) mede quanto o ângulo
muda quando muda o comprimento de onda . A definição matemática é
- Diferenciando a equação
em relação a (tendo e constantes), obtemos:
- Explicação: isso vem de derivar
em relação a . A dispersão diz quão “separadas” ficam as cores no espaço angular quando a mudança de comprimento de onda é pequena.
Passo 6
Calcular numericamente a dispersão angular para a segunda ordem.
- Usando
calculado e :
- Primeiro calculamos
:
- Agora
- Interpretações práticas:
- Em radianos por nanómetro (mais intuitivo quando
está em nm), multiplica-se por :
- Em graus por nanómetro:
- Em radianos por nanómetro (mais intuitivo quando
Didática/Comentário: isso significa que uma variação de
no comprimento de onda desloca o máximo angularmente por cerca de
na segunda ordem.
Passo 7
Definir e explicar o conceito de resolução (poder de resolução) de uma rede.
- O poder de resolução
de uma rede é a medida de quão pequena diferença de comprimentos de onda a rede consegue distinguir. Uma fórmula clássica para uma rede iluminada por ranhuras é
onde:
-
é a ordem, -
é o número de ranhuras efetivamente iluminadas (aqui assumimos ). - Explicação: a fórmula
vem da análise da interferência de muitas fendas; mais fendas e ordens maiores aumentam o poder de resolução.
Passo 8
Calcular numericamente a resolução e a mínima diferença de comprimento de onda resolvível na segunda ordem.
- Com
e :
- A menor diferença de comprimento de onda que pode ser separada (aproximadamente) é
- Em unidades mais amigáveis:
Interpretação: na segunda ordem essa rede, idealmente, consegue distinguir comprimentos de onda separados por cerca de
.
Passo 9
Passando para a parte (b): estabelecer o modelo físico para duas fendas com largura finita (envelope de difração de cada fenda + interferência entre elas).
- Para duas fendas idênticas de largura
e separação , a intensidade angular total é dada por (se cada fenda sozinha, no centro, fornece intensidade ):
onde
- Explicação rápida:
- O fator
é a parte de interferência entre as duas fendas (máximos de ordem inteira quando o argumento é múltiplo de ). - O fator
é o envelope de difração de uma fenda de largura (single-slit), que modula a amplitude geral. - No centro (
), e , portanto .
- O fator
Didática: a observação de máximos de interferência depende tanto da interferência entre fendas quanto da difração individual de cada fenda — o envelope pode suprimir alguns máximos se
for pequeno.
Passo 10
Definir os valores para a parte (b) e calcular o ângulo da segunda ordem para duas fendas.
- Dados já interpretados:
- separação entre fendas
. - largura de cada fenda
igual à “abertura da rede”, que interpretamos como o período da rede calculado antes:
- separação entre fendas
- Condição de máximos de interferência (ordem
) para duas fendas:
- Para
:
- O ângulo é muito pequeno:
Comentário: ângulo de máxima muito pequeno porque a separação entre fendas é grande comparada a
.
Passo 11
Calcular o fator de envelope
na segunda ordem — isto determina quanto a difração de cada fenda atenua o máximo de interferência.
- Primeiro calcular
:
- Substituindo números:
- Calcule passo a passo:
-
. - Dividindo por
dá . - Multiplicando por
:
-
- Esse
é muito pequeno, então usamos a aproximação para pequeno argumento:
- Calcular
: -
. -
.
-
- Portanto
e elevando ao quadrado:
Interpretação: o envelope de difração praticamente não atenua o máximo de segunda ordem neste caso — o valor é praticamente 1 (ou seja, quase inteiro).
Passo 12
Determinar a intensidade no máximo de segunda ordem para as duas fendas.
- A intensidade máxima de ordem
(quando a condição de interferência está satisfeita) é
onde
é a intensidade produzida por uma única fenda no centro.
- Para
calculado, temos
- Se quisermos comparar com o máximo central da combinação de duas fendas (que é
), a razão é
Conclusão prática: o máximo de segunda ordem tem praticamente a mesma intensidade do máximo central; a diferença é insignificante (ordem de
relativa).
Resposta
a) Dispersão angular na segunda ordem
(ou
, aproximadamente
). Resolução
, logo
b) Intensidade do máximo de segunda ordem para as duas fendas:
(isto é, cerca de
do máximo central; praticamente igual ao máximo central).