(2,0 pts) Mostre que o seguinte campo vetorial é conservativo e encontre uma função potencial:
DICA:
ou
1
Passo 1
O enunciado nos dá o campo
e pede para mostrar que ele é conservativo (ou seja,
num domínio adequado) e encontrar uma função potencial
tal que
. Vamos usar cálculo de derivadas parciais para verificar a nulidade do rotacional e depois integrar componente a componente para achar
.
Passo 2
Calculemos o rotacional
Denotando
, temos
-
,
logo o 1.º componente é zero. -
,
,
logo o 2.º componente é zero. - Um cálculo semelhante mostra que a 3.ª componente também zera.
Assimno domínio onde e estão bem definidos (isto é, onde ), o que garante que é conservativo em cada região simplesmente conectada desse domínio.
Passo 3
Como
é conservativo, existe
com
Integramos em
, tratando
como constantes. Note que
.
Logo
Logo
onde
é função a determinar.
Passo 4
Agora usamos a componente
:
deve ser igual a
.
Isso impõe , ou seja,
.
Isso impõe
Passo 5
Por fim, a componente
:
deve ser igual a
. Assim
e
é constante.
Resposta
Uma função potencial é
onde
é constante. Nesse domínio,
, logo o campo é conservativo.