(2,0 pts) Mostre que o seguinte campo vetorial é conservativo e encontre uma função potencial:
F(x, y, z)=2 x z sec ^2(x^2-y) i-z sec ^2(x^2-y) j+tg(x^2-y) k
DICA: arcos(-12)=2 pi3 ou 4 pi3
sin pi3=sin 2 pi3=raiz32
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Passo 1

O enunciado nos dá o campo
F(x,y,z)=l(2xzsec^2(x^2-y),;-zsec^2(x^2-y),;tan(x^2-y)r)
e pede para mostrar que ele é conservativo (ou seja, nablatimesF=0 num domínio adequado) e encontrar uma função potencial phi(x,y,z) tal que nablaphi=F. Vamos usar cálculo de derivadas parciais para verificar a nulidade do rotacional e depois integrar componente a componente para achar phi.

Passo 2

Calculemos o rotacional
nablatimesF =l(partial Fzpartial y-partial Fypartial z,, partial Fxpartial z-partial Fzpartial x,, partial Fypartial x-partial Fxpartial yr)
Denotando u=x^2-y, temos
Fx=2xzsec^2u, Fy=-zsec^2u, Fz=tan u
  1. partial Fzpartial y =sec^2ucdotpartial upartial y=-sec^2u,
    partial Fypartial z=-sec^2u,
    logo o 1.º componente é zero.
  2. partial Fxpartial z=2xsec^2u,
    partial Fzpartial x =sec^2ucdotpartial upartial x=2xsec^2u,
    logo o 2.º componente é zero.
  3. Um cálculo semelhante mostra que a 3.ª componente também zera.
    Assim nablatimesF=0 no domínio onde sec e tan estão bem definidos (isto é, onde cos(x^2-y)neq0), o que garante que F é conservativo em cada região simplesmente conectada desse domínio.

Passo 3

Como F é conservativo, existe phi com
partial phipartial x=2xzsec^2(x^2-y)
Integramos em x, tratando y,z como constantes. Note que
ddxl[tan(x^2-y)r] =sec^2(x^2-y)cdot2x.
Logo
phi(x,y,z)=z,tan(x^2-y)+g(y,z),
onde g é função a determinar.

Passo 4

Agora usamos a componente y:
partial phipartial y =zcdotddy[tan(x^2-y)]+gy(y,z) =-zsec^2(x^2-y)+gy(y,z)
deve ser igual a Fy=-zsec^2(x^2-y).
Isso impõe gy(y,z)=0, ou seja, g(y,z)=h(z).

Passo 5

Por fim, a componente z:
partial phipartial z =tan(x^2-y)+h'(z)
deve ser igual a Fz=tan(x^2-y). Assim h'(z)=0 e h é constante.

Resposta

Uma função potencial é
boxedphi(x,y,z)=z,tanl(x^2-yr)+C,
onde C é constante. Nesse domínio, nablaphi=F, logo o campo é conservativo.

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