( 2 pts ) A tabela a seguir mostra os resultados de 120000 lançamentos de um dado. Nessa tabela, ni representa a frequência de ocorrências da respectiva face (i). Determine:
face (i) frequência c|c face (i) & frequência ((ni)) hline 1 & 20108 2 & 19854 3 & 19859 4 & 20149 5 & 20036 6 & 19994 hline
1 20108
2 19854
3 19859
4 20149
5 20036
6 19994
a) o valor médio dos resultados;
b) o desvio padrão dos resultados;
c) os valores esperados desses parâmetros.

Passo 1

O enunciado dá as frequências de cada face (1 a 6) em 120 000 lançamentos de um dado e pede a média, o desvio padrão amostral e os valores teóricos (esperados) desses parâmetros. Vamos usar conceitos de média, segundo momento e desvio padrão de variáveis discretas.

Passo 2

Para calcular a média amostral usamos a fórmula bar x = 1Nsumi=1^6 i,ni. Aqui temos:

Passo 3

Dividindo por ,

Passo 4

Para o desvio padrão, primeiro calculamos E(X^2)=1Nsumi=1^6 i^2ni. Temos:
sum i^2ni = 1^2cdot20108 + 2^2cdot19854 + 3^2cdot19859 + 4^2cdot20149 + 5^2cdot20036 + 6^2cdot19994 = 1821323
Logo
E(X^2)=1821323120000approx15,1777
A variância amostral (populacional) é sigma^2 = E(X^2)-[bar x]^2:
sigma^2 approx15,1777 - (3,5011)^2 approx2,9199
E o desvio padrão:
sigma = raiz2,9199 approx1,708

Passo 5

Para os valores esperados teóricos de um dado justo com faces 1 a 6, sabemos que
E(X)=1+2+3+4+5+66=3,5
e
Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 = 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^26 - 3,5^2 = 916 - 12,25 = 3512 approx2,9167
portanto
sigma = raiz3512 approx1,7078

Resposta

a) bar x approx 3,5011
b) sigma approx 1,708
c) Teóricos: E(X)=3,5 e sigma=raiz35/12approx1,7078

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