- (2,0 pts) Questão 2. Calcule a área da regiāo do
quadrante que está dentro do cardióide
e fora da circunferência
.
- (2,0 pts) Questão 3. Encontre o momento de inércia em relação ao eixo
de uma placa triangular fina, delimitada pelo eixo y e pelas retas
e
, com densidade
.
- (2,0 pts) Questāo 4. Escreva a seguinte integral cartesiana
Passo 1
Temos três problemas distintos:
- Calcular a área da região em polar, no 1º quadrante, que está entre o cardioide
(por fora) e a circunferência (por dentro). Conteúdo: integrais em coordenadas polares. - Determinar o momento de inércia em relação ao eixo
de uma lâmina triangular com densidade . Conteúdo: momento de inércia bidimensional . - Descrever em forma de integral cartesiana a região dada pela ordem de integração
Passo 2
Questão 2: A região
em coordenadas polares é
pois em todo
temos
. A área é
Integramos em
:
Então
Sabemos que
. Logo
Passo 3
Questão 3: A região
é o triângulo com vértices
,
,
, limitado por
,
e
. O momento de inércia em relação ao eixo
é
Para integrar em
primeiro, note que para
o
varia de
a
, e para
varia de
a
. Assim
O integral em
só multiplica pelo comprimento do intervalo em
. Calculando e somando dá
Passo 4
Questão 4: A integral já está em forma cartesiana. Podemos apenas dizer que ela representa
Ou seja, em notação de integrais:
Resposta
Questão 2:
Questão 3:
Questão 4: