• (2,0 pts) Questão 2. Calcule a área da regiāo do 1^{\circ} quadrante que está dentro do cardióide r=1+\operatorname{sen} \theta e fora da circunferência r=1.
  • (2,0 pts) Questão 3. Encontre o momento de inércia em relação ao eixo x de uma placa triangular fina, delimitada pelo eixo y e pelas retas y=x e y=2-x, com densidade \delta(x, y)=2 y+2.
  • (2,0 pts) Questāo 4. Escreva a seguinte integral cartesiana
\int_{0}^{1} \int_{x}^{\sqrt{2-x^{2}}} \int_{0}^{x+2 y} 1 d z d y d x \quad \text { nsee }

Passo 1

Temos três problemas distintos:
  1. Calcular a área da região em polar, no 1º quadrante, que está entre o cardioide r=1+\operatorname{sen}\theta (por fora) e a circunferência r=1 (por dentro). Conteúdo: integrais em coordenadas polares.
  2. Determinar o momento de inércia em relação ao eixo x de uma lâmina triangular com densidade \delta(x,y)=2y+2. Conteúdo: momento de inércia bidimensional \displaystyle I_x=\iint_R y^2\,\delta(x,y)\,dA.
  3. Descrever em forma de integral cartesiana a região dada pela ordem de integração
\int_{0}^{1}\int_{x}^{\sqrt{2-x^{2}}}\int_{0}^{x+2y}1\,dz\,dy\,dx.

Passo 2

Questão 2: A região R em coordenadas polares é
0\le\theta\le\frac{\pi}{2}, \quad 1\le r\le 1+\operatorname{sen}\theta,
pois em todo [0,\pi/2] temos 1+\operatorname{sen}\theta\ge1. A área é
A=\int_{0}^{\pi/2}\int_{1}^{1+\operatorname{sen}\theta}r\,dr\,d\theta.
Integramos em r:
\int_{1}^{1+\operatorname{sen}\theta}r\,dr =\frac{(1+\operatorname{sen}\theta)^2-1^2}{2} =\operatorname{sen}\theta+\frac{\operatorname{sen}^2\theta}{2}.
Então
A=\int_{0}^{\pi/2}\Bigl(\operatorname{sen}\theta+\tfrac12\operatorname{sen}^2\theta\Bigr)d\theta =\Bigl[-\cos\theta\Bigr]_{0}^{\pi/2} +\tfrac12\int_{0}^{\pi/2}\operatorname{sen}^2\theta\,d\theta.
Sabemos que \int_{0}^{\pi/2}\operatorname{sen}^2\theta\,d\theta=\pi/4. Logo
A=\bigl(1-0\bigr)+\tfrac12\cdot\frac{\pi}{4} =1+\frac{\pi}{8}.

Passo 3

Questão 3: A região R é o triângulo com vértices (0,0), (1,1), (0,2), limitado por x=0, y=x e y=2-x. O momento de inércia em relação ao eixo x é
I_x=\iint_{R}y^2\,(2y+2)\,dA.
Para integrar em y primeiro, note que para 0\le y\le1 o x varia de 0 a y, e para 1\le y\le2 varia de 0 a 2-y. Assim
I_x =\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{y}y^2(2y+2)\,dx\,dy +\int_{1}^{2}\!\int_{0}^{2-y}y^2(2y+2)\,dx\,dy.
O integral em x só multiplica pelo comprimento do intervalo em x. Calculando e somando dá
I_x=\frac{16}{3}.

Passo 4

Questão 4: A integral já está em forma cartesiana. Podemos apenas dizer que ela representa
\iiint_{E}1\,dV \quad\text{com}\quad E=\bigl\{(x,y,z)\mid 0\le x\le1,\;x\le y\le\sqrt{2-x^2},\;0\le z\le x+2y\bigr\}.
Ou seja, em notação de integrais:
\int_{0}^{1}\int_{x}^{\sqrt{2-x^{2}}}\int_{0}^{x+2y}1\,dz\,dy\,dx.

Resposta

Questão 2:
A=1+\frac{\pi}{8}.
Questão 3:
I_x=\frac{16}{3}.
Questão 4:
\int_{0}^{1}\int_{x}^{\sqrt{2-x^{2}}}\int_{0}^{x+2y}1\,dz\,dy\,dx \quad\text{ou}\quad \iiint_{E}dV,\;E=\{0\le x\le1,\;x\le y\le\sqrt{2-x^2},\;0\le z\le x+2y\}.

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